1. **Planteamiento del problema:** Se tiene un conjunto universo $U = \{1, 2, \ldots, 15\}$ que representa programadores. Los conjuntos son: - $F = \{x \in U \mid x \leq 8\}$ (Frontend) - $B = \{x \in U \mid 5 \leq x \leq 12\}$ (Backend) - $D = \{x \in U \mid x \geq 9\}$ (Base de Datos) Se pide: a) Extensión y cardinalidad de $F$, $B$, $F - B$, $F \cup B$. b) Número de formas de seleccionar 3 programadores de $F \cup B$ sin importar orden y sin repeticiones. c) Probabilidad de seleccionar un programador que sea solo Frontend (en $F - B$), expresada en fracción y porcentaje. 2. **Cálculo de los conjuntos por extensión:** - $F = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ porque $x \leq 8$. - $B = \{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$ porque $5 \leq x \leq 12$. 3. **Cálculo de $F - B$ (elementos en $F$ que no están en $B$):** $$F - B = F \setminus B = \{1, 2, 3, 4\}$$ 4. **Cálculo de $F \cup B$ (unión de $F$ y $B$):** $$F \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$$ 5. **Cardinalidades:** - $|F| = 8$ - $|B| = 8$ - $|F - B| = 4$ - $|F \cup B| = 12$ 6. **Número de formas de seleccionar 3 programadores de $F \cup B$ sin importar orden y sin repeticiones:** Usamos la combinación: $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ Aquí $n = |F \cup B| = 12$ y $k = 3$. $$\binom{12}{3} = \frac{12!}{3! \times 9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$$ 7. **Probabilidad de seleccionar un programador que sea solo Frontend ($F - B$):** La probabilidad es el número de casos favorables sobre el total de casos posibles: $$P = \frac{|F - B|}{|U|} = \frac{4}{15}$$ Para expresarlo en porcentaje: $$\frac{4}{15} \approx 0.2667 = 26.67\%$$ --- **Respuesta final:** - $F = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, $|F|=8$ - $B = \{5,6,7,8,9,10,11,12\}$, $|B|=8$ - $F - B = \{1,2,3,4\}$, $|F - B|=4$ - $F \cup B = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$, $|F \cup B|=12$ - Formas de seleccionar 3 de $F \cup B$: $220$ - Probabilidad de seleccionar solo Frontend: $\frac{4}{15}$ o $26.67\%$