1. **Planteamiento del problema:** Tenemos dos conjuntos: $$A = \{1, 5, 8, 12\}$$ $$B = \{6, 8, 9\}$$ Se nos pide calcular: a) $A \cup B$ (unión de A y B) b) $A \cap B$ (intersección de A y B) c) $\overline{A} \cup B$ (unión del complemento de A con B) d) $A \cap \overline{B}$ (intersección de A con el complemento de B) 2. **Definiciones importantes:** - La unión $A \cup B$ es el conjunto de elementos que están en A, en B, o en ambos. - La intersección $A \cap B$ es el conjunto de elementos que están tanto en A como en B. - El complemento $\overline{A}$ es el conjunto de elementos que no están en A, respecto a un universo definido. Aquí asumiremos que el universo es $E = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$. 3. **Cálculos:** **a) Unión $A \cup B$:** $$A \cup B = \{1, 5, 8, 12\} \cup \{6, 8, 9\} = \{1, 5, 6, 8, 9, 12\}$$ **b) Intersección $A \cap B$:** Elementos comunes a ambos conjuntos: $$A \cap B = \{8\}$$ **c) Complemento de A:** $$\overline{A} = E \setminus A = \{2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11\}$$ Entonces, $$\overline{A} \cup B = \{2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11\} \cup \{6, 8, 9\} = \{2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$$ **d) Complemento de B:** $$\overline{B} = E \setminus B = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 11, 12\}$$ Intersección con A: $$A \cap \overline{B} = \{1, 5, 8, 12\} \cap \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 11, 12\} = \{1, 5, 12\}$$ 4. **Respuesta final:** a) $A \cup B = \{1, 5, 6, 8, 9, 12\}$ b) $A \cap B = \{8\}$ c) $\overline{A} \cup B = \{2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ d) $A \cap \overline{B} = \{1, 5, 12\}$