1. **Problema:** Dados los conjuntos $$A = (-6,2), \quad B = (-10,0), \quad C = [-2,12]$$ Calcular: a) $$(A - B) \cap C$$ b) $$C^c - (A \cap B)$$ c) $$(A \cap B)^c - C$$ --- 2. **Fórmulas y reglas importantes:** - La diferencia de conjuntos: $$A - B = \{x \mid x \in A \text{ y } x \notin B\}$$ - La intersección: $$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ y } x \in B\}$$ - El complemento de un conjunto $$C^c$$ es el conjunto de todos los elementos que no están en $$C$$, considerando el universo adecuado (aquí se asume $$\mathbb{R}$$). --- 3. **Resolución paso a paso:** ### a) Calcular $$(A - B) \cap C$$ - Primero, $$A - B$$: $$A = (-6,2), \quad B = (-10,0)$$ Los elementos en $$A$$ que no están en $$B$$ son los que están en $$(-6,2)$$ pero no en $$(-10,0)$$. Como $$B$$ es $$(-10,0)$$, la parte de $$A$$ que está antes de 0 no está en $$B$$, pero los números entre $$-6$$ y $$0$$ sí están en $$B$$. Por lo tanto: $$A - B = (0,2)$$ - Ahora, intersectamos con $$C = [-2,12]$$: $$ (A - B) \cap C = (0,2) \cap [-2,12] = (0,2) $$ --- ### b) Calcular $$C^c - (A \cap B)$$ - Primero, $$C^c$$: $$C = [-2,12]$$ Entonces, $$C^c = (-\infty,-2) \cup (12,\infty)$$ - Segundo, $$A \cap B$$: $$A = (-6,2), \quad B = (-10,0)$$ La intersección es el intervalo donde ambos se superponen: $$A \cap B = (-6,0)$$ - Finalmente, calculamos $$C^c - (A \cap B)$$: Esto es los elementos en $$C^c$$ que no están en $$A \cap B$$. Como $$C^c$$ y $$A \cap B$$ no se superponen (porque $$C^c$$ está fuera de $$[-2,12]$$ y $$A \cap B$$ está dentro de $$(-6,0)$$), entonces: $$C^c - (A \cap B) = C^c = (-\infty,-2) \cup (12,\infty)$$ --- ### c) Calcular $$(A \cap B)^c - C$$ - Primero, $$A \cap B$$ ya calculado: $$A \cap B = (-6,0)$$ - Complemento de $$A \cap B$$: $$ (A \cap B)^c = (-\infty,-6] \cup [0,\infty) $$ - Ahora, restamos $$C = [-2,12]$$: $$ (A \cap B)^c - C = \left((-\infty,-6] \cup [0,\infty)\right) - [-2,12] $$ Esto es: - Para $$(-\infty,-6]$$ no hay intersección con $$[-2,12]$$, queda igual. - Para $$[0,\infty)$$, al restar $$[-2,12]$$, eliminamos la parte $$[0,12]$$, quedando $$[12,\infty)$$. Por lo tanto: $$ (A \cap B)^c - C = (-\infty,-6] \cup [12,\infty) $$ --- **Respuesta final:** - a) $$(A - B) \cap C = (0,2)$$ - b) $$C^c - (A \cap B) = (-\infty,-2) \cup (12,\infty)$$ - c) $$(A \cap B)^c - C = (-\infty,-6] \cup [12,\infty)$$