1. Vamos resolver o exercício 30: Dados os conjuntos D_4 = \{1, 2, 4\}, D_5 = \{1, 5\} e D_9 = \{1, 3, 9\}. Precisamos analisar as afirmações sobre união e interseção desses conjuntos. 2. União e interseção dos conjuntos: - D_4 \cup D_5 = \{1, 2, 4, 5\} - D_4 \cap D_9 = \{1\} - D_5 \cap D_9 = \{1\} - D_4 \cup D_5 \cup D_9 = \{1, 2, 3, 4, 5, 9\} - "Disjuntos" significa conjuntos sem elementos em comum. D_4 e D_5 têm o elemento 1 em comum, logo não são disjuntos. - "Primos entre si" significa que o máximo divisor comum é 1. Os números 9 e 5 são primos entre si. 3. Verificando as afirmações: - 01. D_4 \cup D_5 = \{2, 4, 5\} é falsa, pois falta o 1. - 02. D_4 \cap D_9 = \{\} é falsa, pois a interseção é \{1\}. - 04. D_5 \cap D_9 = \{1\} é verdadeira. - 08. D_4 \cup D_5 \cup D_9 = \{1, 2, 3, 4, 5, 9\} é verdadeira. - 16. D_4 e D_5 são "disjuntos" é falsa. - 32. Os números 9 e 5 são "primos entre si" é verdadeira. Resposta correta: 04, 08, 32. --- 1. Exercício 31: Quantos lápis tem um conjunto que possui 256 subconjuntos? 2. Fórmula: O número de subconjuntos de um conjunto com $n$ elementos é $2^n$. 3. Temos $2^n = 256$. 4. Como $256 = 2^8$, então $n = 8$. Resposta: O conjunto tem 8 lápis. --- 1. Exercício 39: (não listado no texto, ignorado conforme regra de primeiro problema) --- 1. Exercício 40: (não listado no texto, ignorado conforme regra de primeiro problema) --- 1. Exercício 47: (não listado no texto, ignorado conforme regra de primeiro problema) --- 1. Exercício 48: (não listado no texto, ignorado conforme regra de primeiro problema) --- 1. Exercício 51: Pesquisa de opinião sobre leitura de jornais A, B e C. 2. Dados: - 40% leem A - 55% leem B - 35% leem C - 12% leem A e B - 15% leem A e C - 19% leem B e C - 7% leem os três jornais - 135 não leem nenhum 3. Fórmula para total $N$: $$N = \text{soma individuais} - \text{soma duplas} + \text{tripla} + \text{não lê nenhum}$$ 4. Soma individuais: $40 + 55 + 35 = 130$% 5. Soma duplas: $12 + 15 + 19 = 46$% 6. Tripla: $7$% 7. Aplicando fórmula: $$N = 130 - 46 + 7 + \frac{135}{N} \times 100$$ 8. Como 135 pessoas correspondem a $(100 - \text{total % que lêem})$ do total, temos: $$135 = N \times (1 - \frac{40 + 55 + 35 - 12 - 15 - 19 + 7}{100}) = N \times (1 - \frac{130 - 46 + 7}{100}) = N \times (1 - 0.91) = 0.09N$$ 9. Logo: $$N = \frac{135}{0.09} = 1500$$ Resposta: 1500 entrevistados. --- 1. Exercício 55: Catálogos C1, C2 e C3 com páginas e interseções. 2. Dados: - C1 = 50 páginas - C2 = 45 páginas - C3 = 40 páginas - C1 \cap C2 = 10 páginas - C1 \cap C3 = 6 páginas - C2 \cap C3 = 5 páginas - C1 \cap C2 \cap C3 = 4 páginas 3. Número total de páginas distintas: $$|C1 \cup C2 \cup C3| = |C1| + |C2| + |C3| - |C1 \cap C2| - |C1 \cap C3| - |C2 \cap C3| + |C1 \cap C2 \cap C3|$$ 4. Substituindo: $$50 + 45 + 40 - 10 - 6 - 5 + 4 = 135 - 21 + 4 = 118$$ Resposta: 118 páginas distintas. --- 1. Exercício 65: Pesquisa com 200 alunos, 160 usam Internet Explorer, 115 usam Mozilla Firefox. 2. Número que usam ambos: $$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$ 3. Como todos os alunos foram entrevistados, $|A \cup B| \leq 200$. 4. Calculando: $$|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B| \geq 160 + 115 - 200 = 75$$ Resposta: 75 alunos usam ambos os navegadores. --- 1. Exercício 78: Intervalos A = ]-\infty, 5[, B = [3, +\infty[. 2. Verificando afirmações: - 01. $A \cap B = [3, 5[$ é verdadeira. - 02. $\{3, 6\} \subset A$ é falsa, pois 6 \notin A. - 04. $-5 \in A$ é verdadeira. - 08. $3 \in B$ é verdadeira. - 16. $A \cup B = ]-\infty, 3]$ é falsa, pois $A \cup B = \mathbb{R}$. Resposta: Correto são 01, 04 e 08. --- 1. Exercício 89: Soma das dízimas 0,2222... + 0,23333... 2. Convertendo para frações: - $0,2222... = \frac{2}{9}$ - $0,23333... = \frac{7}{30}$ 3. Soma: $$\frac{2}{9} + \frac{7}{30} = \frac{20}{90} + \frac{21}{90} = \frac{41}{90}$$ Resposta: $\frac{41}{90}$. --- 1. Exercício 93: Valor de $\sqrt{0,444...}$. 2. Note que $0,444... = \frac{4}{9}$. 3. Calculando raiz: $$\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} = 0,666...$$ Resposta: 0,666... (alternativa e).