1. **Enunciado do problema:** Temos três conjuntos representando consumidores das marcas A, B e C de refrigerantes, com as quantidades dadas para cada conjunto e suas interseções, além de consumidores que não consumiram nenhuma dessas marcas (Outras). 2. **Dados fornecidos:** - $|A|=150$ - $|B|=120$ - $|C|=80$ - $|A \cap B|=60$ - $|A \cap C|=20$ - $|B \cap C|=40$ - $|A \cap B \cap C|=15$ - Outros (não consumiram A, B nem C) = 70$ 3. **Objetivos:** - Quantos consumidores beberam refrigerante no bar nesse dia (ou seja, consumiram pelo menos uma das marcas A, B ou C)? - Quantos beberam apenas duas dessas marcas? - Quantos não consumiram a marca C? - Quantos não consumiram a marca B nem a marca C? 4. **Fórmulas importantes:** - Para três conjuntos, a união é dada por: $$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$$ - Consumidores que beberam apenas duas marcas são aqueles que estão nas interseções de dois conjuntos, excluindo os que estão na interseção dos três: $$|\text{apenas duas marcas}| = (|A \cap B| - |A \cap B \cap C|) + (|A \cap C| - |A \cap B \cap C|) + (|B \cap C| - |A \cap B \cap C|)$$ - Consumidores que não consumiram a marca C são os que estão fora de $C$: $$|\text{não C}| = \text{total} - |C|$$ - Consumidores que não consumiram nem B nem C são os que estão fora da união $B \cup C$: $$|\text{não B nem C}| = \text{total} - |B \cup C|$$ 5. **Cálculo do total de consumidores:** Sabemos que há 70 consumidores que não consumiram nenhuma das marcas, então o total é: $$\text{total} = |A \cup B \cup C| + 70$$ 6. **Calculando $|A \cup B \cup C|$:** $$|A \cup B \cup C| = 150 + 120 + 80 - 60 - 20 - 40 + 15 = 350 - 120 + 15 = 245$$ 7. **Total de consumidores:** $$\text{total} = 245 + 70 = 315$$ 8. **Consumidores que beberam apenas duas marcas:** $$|\text{apenas duas marcas}| = (60 - 15) + (20 - 15) + (40 - 15) = 45 + 5 + 25 = 75$$ 9. **Consumidores que não consumiram a marca C:** $$|\text{não C}| = 315 - 80 = 235$$ 10. **Calculando $|B \cup C|$ para consumidores que não consumiram B nem C:** $$|B \cup C| = |B| + |C| - |B \cap C| = 120 + 80 - 40 = 160$$ 11. **Consumidores que não consumiram nem B nem C:** $$|\text{não B nem C}| = 315 - 160 = 155$$ **Resposta final:** - Consumidores que beberam refrigerante: **315** - Consumidores que beberam apenas duas marcas: **75** - Consumidores que não consumiram a marca C: **235** - Consumidores que não consumiram nem B nem C: **155**