1. المشكلة: لدينا رقمين أوليين $p$ و $q$ ونريد حساب $N = p \cdot q$ و $z = (p-1)(q-1)$ ثم اختيار عدد أولي $k$ بحيث $k$ أولي بالنسبة لـ $z$ (أي $\gcd(k,z)=1$). بعد ذلك نحسب $j$ بحيث $j \cdot k \equiv 1 \pmod{z}$، ثم نستخدم $k$ و $j$ لتشفير وفك تشفير رقم $P$. 2. القوانين المستخدمة: - حساب $N = p \cdot q$. - حساب $z = (p-1)(q-1)$. - اختيار $k$ بحيث $\gcd(k,z) = 1$. - حساب $j$ بحيث $j \cdot k \equiv 1 \pmod{z}$ (وهو المعكوس الضربي لـ $k$ modulo $z$). - التشفير: $E \equiv P^{k} \pmod{N}$. - فك التشفير: $P \equiv E^{j} \pmod{N}$. 3. خطوات الحل: 1. اختر رقمين أوليين، مثلاً $p=5$ و $q=11$. 2. احسب $N = p \cdot q = 5 \times 11 = 55$. 3. احسب $z = (p-1)(q-1) = 4 \times 10 = 40$. 4. اختر عدد أولي $k$ بحيث $\gcd(k,40) = 1$، مثلاً $k=3$ (لأن 3 أولي و 3 لا يقسم 40). 5. احسب $j$ بحيث $j \cdot 3 \equiv 1 \pmod{40}$. نستخدم التوسيع الإقليدي لإيجاد $j$: $3j \equiv 1 \pmod{40}$ يعني وجود $j$ بحيث $3j - 40m = 1$ لبعض $m$. نوجد $j=27$ لأن $3 \times 27 = 81 \equiv 1 \pmod{40}$. 6. اختر رقم $P$، مثلاً $P=7$. 7. احسب التشفير $E = P^{k} \pmod{N} = 7^{3} \pmod{55}$. نحسب $7^{3} = 343$. ثم $343 \mod 55 = 343 - 6 \times 55 = 343 - 330 = 13$. إذن $E=13$. 8. فك التشفير: احسب $E^{j} \pmod{N} = 13^{27} \pmod{55}$. باستخدام التكرار السريع للأسس (اختصار): $13^{27} \equiv 7 \pmod{55}$ (وهو $P$ الأصلي). 9. النشر: الأرقام المهمة هي $N=55$, $k=3$, $P=7$, $j=27$, و $E=13$. 10. الوظائف: $N$ هو modulus المشترك، $k$ هو المفتاح العام للتشفير، $j$ هو المفتاح الخاص لفك التشفير، $P$ هو الرسالة الأصلية، و $E$ هو الرسالة المشفرة. هذه الأرقام تستخدم في التشفير وفك التشفير بطريقة RSA.