1. **Planteamiento del problema:** Resolver la primera ecuación diferencial lineal de primer orden: $$\frac{dy}{dx} + 2y = e^{-x}$$ 2. **Fórmula y concepto:** Para ecuaciones de la forma $$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$, usamos el factor integrante $$\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$$ para convertir la ecuación en una forma integrable. 3. **Cálculo del factor integrante:** Aquí, $$P(x) = 2$$, entonces $$\mu(x) = e^{\int 2 dx} = e^{2x}$$ 4. **Multiplicamos toda la ecuación por $$\mu(x)$$:** $$e^{2x} \frac{dy}{dx} + 2 e^{2x} y = e^{2x} e^{-x}$$ 5. **Reconocemos que el lado izquierdo es derivada del producto:** $$\frac{d}{dx} \left(e^{2x} y\right) = e^{x}$$ 6. **Integramos ambos lados respecto a $$x$$:** $$\int \frac{d}{dx} \left(e^{2x} y\right) dx = \int e^{x} dx$$ 7. **Resultado de la integración:** $$e^{2x} y = e^{x} + C$$ 8. **Despejamos $$y$$:** $$y = e^{-2x} (e^{x} + C) = e^{-x} + C e^{-2x}$$ **Respuesta final:** $$y = e^{-x} + C e^{-2x}$$ --- **Explicación conceptual:** - El factor integrante funciona porque transforma la ecuación en una derivada exacta, facilitando la integración. - Bernoulli generaliza la ecuación lineal al permitir términos no lineales en $$y$$, que se pueden linealizar mediante un cambio de variable. **Errores comunes:** - Calcular mal el factor integrante, por ejemplo, olvidar el signo o la constante. - No hacer correctamente el cambio de variable en ecuaciones no lineales. - Olvidar regresar a la variable original después del cambio.