1. **Stel het probleem vast:** We moeten de differentiaalvergelijking oplossen: $$y \cos y \, dx - \left( \frac{x}{y} \sin y + \frac{\cos y}{x} \right) dy = 0$$ 2. **Herformuleer de vergelijking:** Schrijf de vergelijking in de vorm $M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0$ met $$M = y \cos y$$ $$N = -\left( \frac{x}{y} \sin y + \frac{\cos y}{x} \right)$$ 3. **Controleer of de vergelijking exact is:** Bereken de partiële afgeleiden $$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos y - y \sin y$$ $$\frac{\partial N}{\partial x} = -\left( \frac{1}{y} \sin y - \frac{\cos y}{x^2} \right)$$ 4. **Vergelijk de partiële afgeleiden:** $$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos y - y \sin y$$ $$\frac{\partial N}{\partial x} = -\frac{1}{y} \sin y + \frac{\cos y}{x^2}$$ Deze zijn niet gelijk, dus de vergelijking is niet exact. 5. **Zoek een integraal factor:** Omdat de vergelijking niet exact is, zoeken we een integraal factor afhankelijk van $x$ of $y$. We proberen een integraal factor afhankelijk van $x$. Bereken $$\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{(\cos y - y \sin y) - \left(-\frac{1}{y} \sin y + \frac{\cos y}{x^2}\right)}{-\left( \frac{x}{y} \sin y + \frac{\cos y}{x} \right)}$$ Dit is complex, maar als we vereenvoudigen, zien we dat het niet alleen van $x$ afhangt. Probeer een integraal factor afhankelijk van $y$. 6. **Integraal factor afhankelijk van $y$:** Bereken $$\frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} = \frac{-\frac{1}{y} \sin y + \frac{\cos y}{x^2} - (\cos y - y \sin y)}{y \cos y}$$ Ook dit is niet alleen functie van $y$. Daarom proberen we een andere aanpak. 7. **Herschrijf de vergelijking:** Deel de hele vergelijking door $y \cos y$ (ervan uitgaande dat $y \cos y \neq 0$): $$dx - \left( \frac{x}{y^2} \tan y + \frac{1}{x y} \right) dy = 0$$ 8. **Schrijf als differentiaalvergelijking:** $$\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y^2} \tan y + \frac{1}{x y}$$ 9. **Vermenigvuldig beide zijden met $x$ om het te herschrijven:** $$x \frac{dx}{dy} = \frac{x^2}{y^2} \tan y + \frac{1}{y}$$ 10. **Stel $z = x^2$, dan is $\frac{dz}{dy} = 2x \frac{dx}{dy}$:** $$\frac{1}{2} \frac{dz}{dy} = \frac{z}{y^2} \tan y + \frac{1}{y}$$ 11. **Herschrijf:** $$\frac{dz}{dy} - \frac{2 \tan y}{y^2} z = \frac{2}{y}$$ 12. **Los dit lineaire differentiaalvergelijking op:** De integraal factor is $$\mu(y) = e^{-\int \frac{2 \tan y}{y^2} dy}$$ 13. **De integraal is complex, maar dit is de standaardvorm van een lineaire ODE.** 14. **De oplossing is:** $$z(y) = \frac{1}{\mu(y)} \left( \int \mu(y) \frac{2}{y} dy + C \right)$$ 15. **Terug naar $x$:** $$x^2 = z(y)$$ **Conclusie:** De oplossing van de differentiaalvergelijking is impliciet gegeven door bovenstaande formule met integraal factor $\mu(y)$ en constante $C$.