1. Das Problem lautet: Finde die allgemeine Lösung des Systems $$\begin{cases} x' = \alpha x + \beta y \\ y' = -\beta x + \alpha y \end{cases}$$ 2. Wir verwenden die Methode der Eigenwerte und Eigenvektoren für lineare Differentialgleichungssysteme. 3. Schreibe das System in Matrixform: $$\mathbf{x}' = A \mathbf{x} \quad \text{mit} \quad A = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\beta & \alpha \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ 4. Bestimme die Eigenwerte $\lambda$ von $A$ durch Lösen der charakteristischen Gleichung: $$\det(A - \lambda I) = 0$$ $$\det \begin{pmatrix} \alpha - \lambda & \beta \\ -\beta & \alpha - \lambda \end{pmatrix} = (\alpha - \lambda)^2 + \beta^2 = 0$$ 5. Daraus folgt: $$ (\alpha - \lambda)^2 = -\beta^2 $$ $$ \Rightarrow \lambda - \alpha = \pm i \beta $$ $$ \Rightarrow \lambda = \alpha \pm i \beta $$ 6. Die Eigenwerte sind komplex konjugiert mit Realteil $\alpha$ und Imaginärteil $\beta$. 7. Die allgemeine Lösung eines Systems mit komplexen Eigenwerten $\lambda = \alpha \pm i \beta$ ist: $$ \mathbf{x}(t) = e^{\alpha t} \left( C_1 \begin{pmatrix} \cos(\beta t) \\ -\sin(\beta t) \end{pmatrix} + C_2 \begin{pmatrix} \sin(\beta t) \\ \cos(\beta t) \end{pmatrix} \right) $$ 8. Daraus ergeben sich die Komponenten: $$ x(t) = e^{\alpha t} (C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin(\beta t)) $$ $$ y(t) = e^{\alpha t} (-C_1 \sin(\beta t) + C_2 \cos(\beta t)) $$ 9. $C_1$ und $C_2$ sind Konstanten, die durch Anfangsbedingungen bestimmt werden. Zusammenfassung: Die allgemeine Lösung des Systems ist $$\boxed{\begin{cases} x(t) = e^{\alpha t} (C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin(\beta t)) \\ y(t) = e^{\alpha t} (-C_1 \sin(\beta t) + C_2 \cos(\beta t)) \end{cases}}$$