1. Problemstellung: Wir sollen das Anfangswertproblem $$y'(t) = y(t) + t^2$$ mit der Anfangsbedingung $$y(0) = 1$$ lösen. 2. Formel und Methode: Dies ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung der Form $$y' - y = t^2$$. 3. Wichtig: Wir verwenden den Integrationsfaktor $$\mu(t) = e^{-\int 1 dt} = e^{-t}$$, um die Gleichung lösbar zu machen. 4. Multiplikation der gesamten Gleichung mit $$e^{-t}$$: $$e^{-t} y' - e^{-t} y = t^2 e^{-t}$$ 5. Linke Seite ist die Ableitung von $$y e^{-t}$$, also: $$\frac{d}{dt} (y e^{-t}) = t^2 e^{-t}$$ 6. Integration beider Seiten: $$y e^{-t} = \int t^2 e^{-t} dt + C$$ 7. Berechnung des Integrals $$\int t^2 e^{-t} dt$$ mittels partieller Integration: Setze $$u = t^2$$, $$dv = e^{-t} dt$$, dann $$du = 2t dt$$, $$v = -e^{-t}$$. 8. Erste partielle Integration: $$\int t^2 e^{-t} dt = -t^2 e^{-t} + \int 2t e^{-t} dt$$ 9. Zweite partielle Integration für $$\int 2t e^{-t} dt$$: Setze $$u = 2t$$, $$dv = e^{-t} dt$$, dann $$du = 2 dt$$, $$v = -e^{-t}$$. 10. Ergebnis: $$\int 2t e^{-t} dt = -2t e^{-t} + \int 2 e^{-t} dt = -2t e^{-t} - 2 e^{-t} + C$$ 11. Zusammenfassung des Integrals: $$\int t^2 e^{-t} dt = -t^2 e^{-t} - 2t e^{-t} - 2 e^{-t} + C$$ 12. Einsetzen zurück: $$y e^{-t} = -t^2 e^{-t} - 2t e^{-t} - 2 e^{-t} + C$$ 13. Multipliziere beide Seiten mit $$e^{t}$$: $$y = -t^2 - 2t - 2 + C e^{t}$$ 14. Anfangsbedingung $$y(0) = 1$$ einsetzen: $$1 = -0 - 0 - 2 + C e^{0} = -2 + C$$ 15. Auflösen nach $$C$$: $$C = 3$$ 16. Endlösung: $$\boxed{y(t) = 3 e^{t} - t^2 - 2t - 2}$$