1. **Planteamiento del problema:** Se tiene la ecuación diferencial $$\frac{dB}{dt} + 0.3B = 0.02 B^2$$ con condición inicial $$B(0) = 1$$. Se busca encontrar la función $$B(t)$$ que describe la biomasa en función del tiempo, luego aproximar $$B(3)$$ y finalmente encontrar el tiempo $$t$$ cuando $$B(t) = 0.542$$. 2. **Tipo de ecuación y fórmula:** Esta es una ecuación diferencial no lineal de Bernoulli. La forma general es $$\frac{dy}{dt} + P(t)y = Q(t)y^n$$. Aquí, $$P(t) = 0.3$$, $$Q(t) = 0.02$$ y $$n=2$$. Para resolverla, se usa el cambio de variable $$v = y^{1-n} = y^{-1}$$. 3. **Cambio de variable:** Sea $$v = \frac{1}{B}$$, entonces $$\frac{dv}{dt} = -\frac{1}{B^2} \frac{dB}{dt}$$. Multiplicamos la ecuación original por $$\frac{1}{B^2}$$: $$\frac{1}{B^2} \frac{dB}{dt} + 0.3 \frac{1}{B} = 0.02$$ Reescribiendo: $$-\frac{dv}{dt} + 0.3 v = 0.02$$ Por lo tanto: $$\frac{dv}{dt} - 0.3 v = -0.02$$ 4. **Ecuación lineal para $$v$$:** Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden para $$v$$: $$\frac{dv}{dt} - 0.3 v = -0.02$$ 5. **Resolver la ecuación para $$v$$:** El factor integrante es: $$\mu(t) = e^{-0.3 t}$$ Multiplicamos toda la ecuación por $$\mu(t)$$: $$e^{-0.3 t} \frac{dv}{dt} - 0.3 e^{-0.3 t} v = -0.02 e^{-0.3 t}$$ Esto es equivalente a: $$\frac{d}{dt} \left(v e^{-0.3 t}\right) = -0.02 e^{-0.3 t}$$ 6. **Integrar ambos lados:** $$\int \frac{d}{dt} \left(v e^{-0.3 t}\right) dt = \int -0.02 e^{-0.3 t} dt$$ $$v e^{-0.3 t} = -0.02 \int e^{-0.3 t} dt + C$$ La integral es: $$\int e^{-0.3 t} dt = \frac{e^{-0.3 t}}{-0.3} = -\frac{1}{0.3} e^{-0.3 t}$$ Por lo tanto: $$v e^{-0.3 t} = -0.02 \left(-\frac{1}{0.3} e^{-0.3 t}\right) + C = \frac{0.02}{0.3} e^{-0.3 t} + C$$ 7. **Despejar $$v$$:** $$v = \frac{0.02}{0.3} + C e^{0.3 t} = \frac{1}{15} + C e^{0.3 t}$$ 8. **Aplicar condición inicial:** Recordando que $$v = \frac{1}{B}$$ y $$B(0) = 1$$, entonces: $$v(0) = \frac{1}{1} = 1$$ Sustituimos en la expresión de $$v$$: $$1 = \frac{1}{15} + C e^{0} = \frac{1}{15} + C$$ $$C = 1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15}$$ 9. **Función solución para $$B(t)$$:** $$v = \frac{1}{B} = \frac{1}{15} + \frac{14}{15} e^{0.3 t}$$ Por lo tanto: $$B(t) = \frac{1}{\frac{1}{15} + \frac{14}{15} e^{0.3 t}} = \frac{15}{1 + 14 e^{0.3 t}}$$ 10. **Aproximar biomasa a las 3 horas:** Calcular $$B(3)$$: $$B(3) = \frac{15}{1 + 14 e^{0.9}}$$ Calculamos $$e^{0.9} \approx 2.4596$$: $$B(3) = \frac{15}{1 + 14 \times 2.4596} = \frac{15}{1 + 34.4344} = \frac{15}{35.4344} \approx 0.423$$ 11. **Determinar el tiempo cuando $$B(t) = 0.542$$:** Igualamos y despejamos $$t$$: $$0.542 = \frac{15}{1 + 14 e^{0.3 t}}$$ Invertimos: $$1 + 14 e^{0.3 t} = \frac{15}{0.542} \approx 27.68$$ $$14 e^{0.3 t} = 27.68 - 1 = 26.68$$ $$e^{0.3 t} = \frac{26.68}{14} = 1.906$$ Tomamos logaritmo natural: $$0.3 t = \ln(1.906) \approx 0.644$$ $$t = \frac{0.644}{0.3} \approx 2.15$$ horas. **Respuesta final:** $$B(t) = \frac{15}{1 + 14 e^{0.3 t}}$$ $$B(3) \approx 0.423$$ $$t \approx 2.15$$ horas para que $$B(t) = 0.542$$.