1. Il problema di Cauchy dato è: $$y' - 2y = xe^{x^2+2x}, \quad y(0) = \frac{3}{2}.$$ 2. Questa è un'equazione differenziale lineare del primo ordine della forma: $$y' + p(x)y = q(x),$$ dove qui $p(x) = -2$ e $q(x) = xe^{x^2+2x}.$ 3. Per risolverla, usiamo il fattore integrante: $$\mu(x) = e^{\int p(x) dx} = e^{\int -2 dx} = e^{-2x}.$$ 4. Moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione per $\mu(x)$: $$e^{-2x}y' - 2e^{-2x}y = xe^{x^2+2x}e^{-2x}.$$ 5. Osserviamo che il lato sinistro è la derivata del prodotto $e^{-2x}y$: $$\frac{d}{dx}(e^{-2x}y) = xe^{x^2}.$$ 6. Integrare entrambi i membri rispetto a $x$: $$e^{-2x}y = \int xe^{x^2} dx + C.$$ 7. Per integrare $\int xe^{x^2} dx$, usiamo la sostituzione $u = x^2$, quindi $du = 2x dx$ o $x dx = \frac{du}{2}$: $$\int xe^{x^2} dx = \int e^u \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C.$$ 8. Quindi: $$e^{-2x}y = \frac{1}{2} e^{x^2} + C.$$ 9. Moltiplichiamo entrambi i membri per $e^{2x}$ per isolare $y$: $$y = e^{2x} \left( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \right) = \frac{1}{2} e^{x^2 + 2x} + Ce^{2x}.$$ 10. Applichiamo la condizione iniziale $y(0) = \frac{3}{2}$: $$\frac{3}{2} = \frac{1}{2} e^{0 + 0} + C e^{0} = \frac{1}{2} + C,$$ quindi $$C = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1.$$ 11. La soluzione finale è: $$\boxed{y = \frac{1}{2} e^{x^2 + 2x} + e^{2x}}.$$