1. **Problemstellung:** Gegeben sind die Differentialgleichungen: (I) $ \frac{dx}{dt} = -t x(t) $ (II) $ \frac{d^2 y}{dt^2} = -\omega^2 y(t), \omega > 0 $ (a) **Klassifikation:** - Ordnung: (I) ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung, (II) ist eine Differentialgleichung 2. Ordnung. - Linearität: Beide Gleichungen sind linear, da die abhängige Variable und ihre Ableitungen nur in erster Potenz und ohne Produkte auftreten. - Autonomie: (I) ist nicht autonom, da die rechte Seite explizit von $t$ abhängt. (II) ist autonom, da die rechte Seite nur von $y(t)$ abhängt, nicht von $t$. 2. **Lösung von (I) mittels Separation der Variablen:** Die Gleichung lautet: $$\frac{dx}{dt} = -t x(t)$$ Schritt 1: Variablen trennen: $$\frac{1}{x} dx = -t dt$$ Schritt 2: Beide Seiten integrieren: $$\int \frac{1}{x} dx = \int -t dt$$ $$\Rightarrow \ln|x| = -\frac{t^2}{2} + C$$ Schritt 3: Exponentieren, um $x$ zu isolieren: $$x = e^{\ln|x|} = e^{-\frac{t^2}{2} + C} = e^C e^{-\frac{t^2}{2}}$$ Setze $A = e^C$, eine Konstante: $$x(t) = A e^{-\frac{t^2}{2}}$$ 3. **Verifikation der Lösung von (II):** Gegeben ist: $$y(t) = y_0 \cos(\omega t + \phi_0)$$ Berechne die zweite Ableitung: $$\frac{dy}{dt} = -y_0 \omega \sin(\omega t + \phi_0)$$ $$\frac{d^2 y}{dt^2} = -y_0 \omega^2 \cos(\omega t + \phi_0) = -\omega^2 y(t)$$ Damit ist gezeigt, dass $y(t)$ die Differentialgleichung (II) erfüllt. **Endergebnisse:** - (a) (I) 1. Ordnung, linear, nicht autonom; (II) 2. Ordnung, linear, autonom. - (b) Allgemeine Lösung von (I): $x(t) = A e^{-\frac{t^2}{2}}$. - (c) $y(t) = y_0 \cos(\omega t + \phi_0)$ löst (II).