1. مسئله: حل معادله دیفرانسیل $$x^r y'' - rxy' + ry = x^{-r}$$ است. 2. فرمول‌ها و قواعد: این معادله از نوع معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم با ضرایب متغیر است. ابتدا باید معادله همگن متناظر را حل کنیم: $$x^r y'' - rxy' + ry = 0$$ 3. فرض می‌کنیم جواب به صورت $$y = x^m$$ باشد. مشتقات را محاسبه می‌کنیم: $$y' = m x^{m-1}, \quad y'' = m(m-1) x^{m-2}$$ 4. جایگذاری در معادله همگن: $$x^r \cdot m(m-1) x^{m-2} - r x \cdot m x^{m-1} + r x^m = 0$$ 5. ساده‌سازی توان‌ها: $$m(m-1) x^{m+r-2} - r m x^{m} + r x^{m} = 0$$ 6. توجه کنید که توان‌ها باید برابر باشند، پس: $$m + r - 2 = m \implies r - 2 = 0 \implies r = 2$$ 7. با فرض $$r=2$$، معادله به شکل زیر است: $$m(m-1) x^{m} - 2 m x^{m} + 2 x^{m} = 0$$ 8. خارج کردن عامل مشترک $$x^m$$: $$x^m [m(m-1) - 2m + 2] = 0$$ 9. معادله درجه دوم برای $$m$$: $$m^2 - m - 2m + 2 = 0 \implies m^2 - 3m + 2 = 0$$ 10. حل معادله درجه دوم: $$m = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ 11. ریشه‌ها: $$m_1 = 2, \quad m_2 = 1$$ 12. جواب کلی معادله همگن: $$y_h = C_1 x^2 + C_2 x$$ 13. برای یافتن جواب خاص $$y_p$$، از روش ضرایب نامعین یا تغییر پارامترها استفاده می‌کنیم. چون سمت راست $$x^{-r} = x^{-2}$$ است، فرض می‌کنیم: $$y_p = A x^{-2}$$ 14. مشتقات: $$y_p' = -2 A x^{-3}, \quad y_p'' = 6 A x^{-4}$$ 15. جایگذاری در معادله اصلی: $$x^2 \cdot 6 A x^{-4} - 2 x \cdot (-2 A x^{-3}) + 2 \cdot A x^{-2} = x^{-2}$$ 16. ساده‌سازی: $$6 A x^{-2} + 4 A x^{-2} + 2 A x^{-2} = x^{-2}$$ 17. جمع ضرایب: $$(6A + 4A + 2A) x^{-2} = x^{-2} \implies 12 A x^{-2} = x^{-2}$$ 18. حل برای $$A$$: $$12 A = 1 \implies A = \frac{1}{12}$$ 19. جواب کلی معادله: $$y = C_1 x^2 + C_2 x + \frac{1}{12} x^{-2}$$ پاسخ نهایی: $$\boxed{y = C_1 x^2 + C_2 x + \frac{1}{12} x^{-2}}$$