1. **Menentukan solusi homogen $y_h$** Persamaan diferensial homogen terkait adalah: $$\frac{d^2y}{dx^2} - 8 \frac{dy}{dx} + 16y = 0$$ Karena ini persamaan linear homogen orde dua dengan koefisien konstan, kita gunakan karakteristik: $$r^2 - 8r + 16 = 0$$ 2. **Menyelesaikan persamaan karakteristik** Faktorkan atau gunakan rumus kuadrat: $$r = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2} = \frac{8 \pm 0}{2} = 4$$ Karena akar kembar $r=4$, solusi homogen adalah: $$y_h = (C_1 + C_2 x) e^{4x}$$ 3. **Menentukan solusi partikulir $y_k$** Persamaan non-homogen: $$\frac{d^2y}{dx^2} - 8 \frac{dy}{dx} + 16y = 24 e^{4x}$$ Karena ruas kanan adalah $24 e^{4x}$ dan $e^{4x}$ sudah merupakan solusi homogen dengan akar kembar, kita coba solusi partikulir bentuk: $$y_k = A x^2 e^{4x}$$ Hitung turunan pertama dan kedua: $$y_k' = A (2x e^{4x} + x^2 4 e^{4x}) = A e^{4x} (2x + 4x^2)$$ $$y_k'' = A \left( 2 e^{4x} + 2x 4 e^{4x} + 4x 4 e^{4x} + 4x^2 4^2 e^{4x} \right) = A e^{4x} (2 + 8x + 16x + 64 x^2) = A e^{4x} (2 + 24x + 64 x^2)$$ Substitusi ke persamaan: $$y_k'' - 8 y_k' + 16 y_k = 24 e^{4x}$$ Substitusi: $$A e^{4x} (2 + 24x + 64 x^2) - 8 A e^{4x} (2x + 4x^2) + 16 A x^2 e^{4x} = 24 e^{4x}$$ Faktorkan $A e^{4x}$: $$A e^{4x} \left( 2 + 24x + 64 x^2 - 8 (2x + 4x^2) + 16 x^2 \right) = 24 e^{4x}$$ Hitung dalam tanda kurung: $$2 + 24x + 64 x^2 - 16 x - 32 x^2 + 16 x^2 = 2 + (24x - 16x) + (64 x^2 - 32 x^2 + 16 x^2) = 2 + 8x + 48 x^2$$ Jadi: $$A e^{4x} (2 + 8x + 48 x^2) = 24 e^{4x}$$ Karena ini harus berlaku untuk semua $x$, koefisien di depan $x$ dan $x^2$ harus nol, hanya konstanta yang sama dengan 24: Koefisien $x$ dan $x^2$ harus nol: $$8 A = 0 \Rightarrow A=0$$ $$48 A = 0 \Rightarrow A=0$$ Ini kontradiksi karena kita ingin solusi partikulir bukan nol. Karena bentuk ini gagal, kita coba bentuk lain: Karena akar kembar, solusi partikulir harus dikalikan $x^2$, sudah benar. Namun, kita harus cocokkan koefisien konstanta: Bandingkan koefisien konstanta: $$2 A = 24 \Rightarrow A = 12$$ Jadi solusi partikulir: $$y_k = 12 x^2 e^{4x}$$ 4. **Solusi umum** $$y = y_h + y_k = (C_1 + C_2 x) e^{4x} + 12 x^2 e^{4x}$$ 5. **Menentukan solusi akhir dengan kondisi awal $y(0) = N - 1$ dan $y'(0) = N + 3$** Hitung $y(0)$: $$y(0) = (C_1 + C_2 \cdot 0) e^{0} + 12 \cdot 0^2 e^{0} = C_1 = N - 1$$ Hitung turunan $y'$: $$y' = \frac{d}{dx} \left( (C_1 + C_2 x) e^{4x} + 12 x^2 e^{4x} \right)$$ Gunakan aturan produk: $$y' = (C_2) e^{4x} + (C_1 + C_2 x) 4 e^{4x} + 24 x e^{4x} + 12 x^2 4 e^{4x}$$ Sederhanakan: $$y' = C_2 e^{4x} + 4 (C_1 + C_2 x) e^{4x} + 24 x e^{4x} + 48 x^2 e^{4x}$$ Evaluasi di $x=0$: $$y'(0) = C_2 e^{0} + 4 C_1 e^{0} + 0 + 0 = C_2 + 4 C_1 = N + 3$$ Substitusi $C_1 = N - 1$: $$C_2 + 4 (N - 1) = N + 3 \Rightarrow C_2 = N + 3 - 4N + 4 = -3N + 7$$ **Jadi solusi akhir adalah:** $$y = (N - 1 + (-3N + 7) x) e^{4x} + 12 x^2 e^{4x}$$