1. **Stating the problem:** Vi har differentialligningen $$y' = 0,01 \cdot y \cdot (20 - y)$$ og funktionen $f$ går gennem punktet $P(0,10)$. Vi skal: a) Bestemme linjeelementet i punktet $P$. b) Bestemme en forskrift for $f$. 2. **Linjeelementet i $P$:** Linjeelementet er hældningen af tangenten til grafen i punktet $P$. Det er givet ved differentialligningens højre side evalueret i $P$: $$y'(0) = 0,01 \cdot y(0) \cdot (20 - y(0)) = 0,01 \cdot 10 \cdot (20 - 10)$$ $$= 0,01 \cdot 10 \cdot 10 = 1$$ Så linjeelementet i $P$ er $1$. 3. **Bestemmelse af forskriften for $f$:** Differentialligningen er en separabel differentialligning: $$\frac{dy}{dx} = 0,01 y (20 - y)$$ Vi omskriver til: $$\frac{dy}{y(20 - y)} = 0,01 \, dx$$ 4. **Partialbrøksopløsning:** Vi skriver: $$\frac{1}{y(20 - y)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{20 - y}$$ Multiplicer med $y(20 - y)$: $$1 = A(20 - y) + By = 20A - Ay + By = 20A + (B - A)y$$ Sammenlign koefficienter: Konstantled: $20A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{20}$ For $y$: $B - A = 0 \Rightarrow B = A = \frac{1}{20}$ 5. **Integrer begge sider:** $$\int \left( \frac{1/20}{y} + \frac{1/20}{20 - y} \right) dy = \int 0,01 \, dx$$ $$\frac{1}{20} \int \frac{1}{y} dy + \frac{1}{20} \int \frac{1}{20 - y} dy = 0,01x + C$$ 6. **Integraler:** $$\frac{1}{20} \ln|y| - \frac{1}{20} \ln|20 - y| = 0,01x + C$$ Bemærk minus i anden integral pga. kædereglen. 7. **Saml logaritmer:** $$\frac{1}{20} \ln \left| \frac{y}{20 - y} \right| = 0,01x + C$$ Gang begge sider med 20: $$\ln \left| \frac{y}{20 - y} \right| = 0,2x + 20C = 0,2x + K$$ 8. **Eksponentier begge sider:** $$\left| \frac{y}{20 - y} \right| = e^{0,2x + K} = e^K e^{0,2x} = C_1 e^{0,2x}$$ Hvor $C_1 = e^K > 0$. 9. **Løs for $y$:** $$\frac{y}{20 - y} = C_1 e^{0,2x}$$ $$y = (20 - y) C_1 e^{0,2x} = 20 C_1 e^{0,2x} - y C_1 e^{0,2x}$$ $$y + y C_1 e^{0,2x} = 20 C_1 e^{0,2x}$$ $$y (1 + C_1 e^{0,2x}) = 20 C_1 e^{0,2x}$$ $$y = \frac{20 C_1 e^{0,2x}}{1 + C_1 e^{0,2x}}$$ 10. **Bestem konstanten $C_1$ ved punktet $P(0,10)$:** $$10 = \frac{20 C_1 e^{0}}{1 + C_1 e^{0}} = \frac{20 C_1}{1 + C_1}$$ Løs for $C_1$: $$10 (1 + C_1) = 20 C_1$$ $$10 + 10 C_1 = 20 C_1$$ $$10 = 10 C_1$$ $$C_1 = 1$$ 11. **Endelig forskrift for $f$:** $$\boxed{f(x) = \frac{20 e^{0,2x}}{1 + e^{0,2x}}}$$ --- **Svar:** a) Linjeelementet i $P$ er $1$. b) Forskriften for $f$ er $$f(x) = \frac{20 e^{0,2x}}{1 + e^{0,2x}}$$.