1. مسئله: معادله دیفرانسیل $$ (x+1)y'' - (2x+3)y' + (x+2)y = 0 $$ داده شده است و یک جواب خاص آن $$ y_1 = e^x $$ است. هدف یافتن جواب عمومی معادله است. 2. فرمول و روش: چون یک جواب خاص $$ y_1 $$ داریم، برای یافتن جواب عمومی از روش کاهش مرتبه استفاده می‌کنیم. فرض می‌کنیم جواب عمومی به صورت $$ y = v(x) y_1 = v(x) e^x $$ باشد. 3. مشتقات را محاسبه می‌کنیم: $$ y = v e^x $$ $$ y' = v' e^x + v e^x = e^x (v' + v) $$ $$ y'' = e^x (v'' + 2v' + v) $$ 4. جایگذاری در معادله اصلی: $$ (x+1) y'' - (2x+3) y' + (x+2) y = 0 $$ جایگزین می‌کنیم: $$ (x+1) e^x (v'' + 2v' + v) - (2x+3) e^x (v' + v) + (x+2) e^x v = 0 $$ 5. چون $$ e^x \neq 0 $$، آن را حذف می‌کنیم: $$ (x+1)(v'' + 2v' + v) - (2x+3)(v' + v) + (x+2) v = 0 $$ 6. عبارت را باز می‌کنیم: $$ (x+1) v'' + 2(x+1) v' + (x+1) v - (2x+3) v' - (2x+3) v + (x+2) v = 0 $$ 7. جملات مشابه را جمع می‌کنیم: - برای $$ v'' $$: $$ (x+1) v'' $$ - برای $$ v' $$: $$ 2(x+1) v' - (2x+3) v' = (2x+2 - 2x -3) v' = (-1) v' $$ - برای $$ v $$: $$ (x+1) v - (2x+3) v + (x+2) v = (x+1 - 2x -3 + x + 2) v = 0 v $$ پس معادله کاهش یافته: $$ (x+1) v'' - v' = 0 $$ 8. معادله را به صورت استاندارد می‌نویسیم: $$ (x+1) v'' = v' $$ یا $$ v'' = \frac{v'}{x+1} $$ 9. متغیر کمکی می‌گذاریم: $$ w = v' $$ پس $$ w' = v'' = \frac{w}{x+1} $$ 10. معادله برای $$ w $$: $$ \frac{dw}{dx} = \frac{w}{x+1} $$ 11. معادله را جدا می‌کنیم: $$ \frac{dw}{w} = \frac{dx}{x+1} $$ 12. انتگرال می‌گیریم: $$ \int \frac{1}{w} dw = \int \frac{1}{x+1} dx $$ نتیجه: $$ \ln|w| = \ln|x+1| + C_1 $$ 13. با گرفتن نمای دو طرف: $$ |w| = e^{C_1} |x+1| $$ می‌توانیم بنویسیم: $$ w = C (x+1) $$ که $$ C = \pm e^{C_1} $$ است. 14. یادآوری می‌کنیم که $$ w = v' $$ پس: $$ v' = C (x+1) $$ 15. انتگرال می‌گیریم: $$ v = C \int (x+1) dx = C \left( \frac{x^2}{2} + x \right) + C_2 $$ 16. جواب عمومی معادله اصلی: $$ y = v e^x = e^x \left[ C \left( \frac{x^2}{2} + x \right) + C_2 \right] $$ 17. معمولاً جواب را به صورت زیر می‌نویسیم: $$ y = C_1 e^x + C_2 e^x \left( \frac{x^2}{2} + x \right) $$ که در آن $$ C_1 $$ و $$ C_2 $$ ثابت‌های دلخواه هستند. پاسخ نهایی: $$ y = C_1 e^x + C_2 e^x \left( \frac{x^2}{2} + x \right) $$