1. مسئله را بیان می‌کنیم: معادله دیفرانسیل انتگرالی داده شده است: $$y'(x) = x^2 + \int_0^x y(t) \cos(x - t) \, dt, \quad y(0) = 4$$ 2. این معادله نوعی معادله دیفرانسیل انتگرالی ولتیرا است که شامل مشتق تابع و یک انتگرال با هسته $\cos(x-t)$ است. 3. برای حل این معادله، ابتدا مشتق سمت چپ را با مشتق کل تابع $y(x)$ در نظر می‌گیریم و از روش تبدیل لاپلاس استفاده می‌کنیم. 4. تبدیل لاپلاس طرفین معادله: $$\mathcal{L}\{y'(x)\} = \mathcal{L}\{x^2\} + \mathcal{L}\left\{\int_0^x y(t) \cos(x - t) dt\right\}$$ 5. می‌دانیم: $$\mathcal{L}\{y'(x)\} = sY(s) - y(0)$$ $$\mathcal{L}\{x^2\} = \frac{2}{s^3}$$ و با توجه به خاصیت کانولوشن: $$\mathcal{L}\left\{\int_0^x y(t) \cos(x - t) dt\right\} = Y(s) \cdot \frac{s}{s^2 + 1}$$ 6. پس معادله تبدیل لاپلاس به صورت زیر است: $$sY(s) - 4 = \frac{2}{s^3} + Y(s) \cdot \frac{s}{s^2 + 1}$$ 7. متغیر $Y(s)$ را جمع می‌کنیم: $$sY(s) - Y(s) \cdot \frac{s}{s^2 + 1} = 4 + \frac{2}{s^3}$$ 8. عامل مشترک $Y(s)$ را خارج می‌کنیم: $$Y(s) \left(s - \frac{s}{s^2 + 1}\right) = 4 + \frac{2}{s^3}$$ 9. مخرج مشترک را می‌گیریم: $$Y(s) \cdot \frac{s(s^2 + 1) - s}{s^2 + 1} = 4 + \frac{2}{s^3}$$ 10. ساده‌سازی صورت: $$s(s^2 + 1) - s = s^3 + s - s = s^3$$ 11. پس: $$Y(s) \cdot \frac{s^3}{s^2 + 1} = 4 + \frac{2}{s^3}$$ 12. حل برای $Y(s)$: $$Y(s) = \left(4 + \frac{2}{s^3}\right) \cdot \frac{s^2 + 1}{s^3} = \frac{4(s^2 + 1)}{s^3} + \frac{2(s^2 + 1)}{s^6}$$ 13. تجزیه به کسرهای ساده: $$Y(s) = \frac{4s^2}{s^3} + \frac{4}{s^3} + \frac{2s^2}{s^6} + \frac{2}{s^6} = \frac{4}{s} + \frac{4}{s^3} + \frac{2}{s^4} + \frac{2}{s^6}$$ 14. حالا تبدیل لاپلاس معکوس می‌گیریم: $$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\} = 1$$ $$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^3}\right\} = \frac{x^2}{2}$$ $$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^4}\right\} = \frac{x^3}{6}$$ $$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^6}\right\} = \frac{x^5}{120}$$ 15. پس: $$y(x) = 4 \cdot 1 + 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 2 \cdot \frac{x^3}{6} + 2 \cdot \frac{x^5}{120} = 4 + 2x^2 + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{60}$$ 16. پاسخ نهایی: $$\boxed{y(x) = 4 + 2x^2 + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{60}}$$ این تابع شرط اولیه $y(0) = 4$ را نیز ارضا می‌کند.