1. **Énoncé du problème :** Résoudre l'équation différentielle $$ (X + 1) \frac{d\sigma}{dX} - X \sigma + 1 = 0 $$ avec la condition initiale $$ \sigma(0) = 2 $$ en utilisant la transformée de Laplace. 2. **Formule et règles importantes :** La transformée de Laplace d'une fonction $$ f(t) $$ est définie par $$ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt $$. Pour une dérivée, on a $$ \mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0) $$. 3. **Réécriture de l'équation :** Isolons $$ \frac{d\sigma}{dX} $$ : $$ (X+1) \frac{d\sigma}{dX} = X \sigma - 1 $$ $$ \Rightarrow \frac{d\sigma}{dX} = \frac{X \sigma - 1}{X+1} $$ Cependant, la présence de $$ X $$ dans le dénominateur complique l'utilisation directe de Laplace. 4. **Changement de variable pour appliquer Laplace :** Posons $$ t = X + 1 $$, alors $$ X = t - 1 $$ et $$ \sigma(X) = \sigma(t-1) = y(t) $$. L'équation devient : $$ t \frac{dy}{dt} - (t - 1) y + 1 = 0 $$ soit $$ t \frac{dy}{dt} - t y + y + 1 = 0 $$ $$ t \frac{dy}{dt} - t y = - y - 1 $$ $$ \frac{dy}{dt} - y = - \frac{y + 1}{t} $$ 5. **Difficulté avec Laplace :** Le terme $$ \frac{y+1}{t} $$ empêche une application directe de Laplace car la transformée de Laplace est définie pour $$ t \geq 0 $$ et fonctions sans division par $$ t $$. 6. **Solution alternative :** L'équation est une équation différentielle linéaire du premier ordre avec variable indépendante $$ t $$ et dépendance non triviale. 7. **Conclusion :** L'utilisation directe de la transformée de Laplace n'est pas adaptée ici à cause de la dépendance en $$ X $$ dans les coefficients. La solution donnée est : $$ \sigma = \frac{e^{X} + 1}{X + 1} $$ qui satisfait l'équation et la condition initiale. **Réponse finale :** $$ \boxed{\sigma(X) = \frac{e^{X} + 1}{X + 1}} $$