1. Masalah pertama: Tentukan solusi persamaan diferensial homogen $$\frac{d^2y}{dt^2} + 3\frac{dy}{dt} - 10y = 0$$ dengan kondisi awal $$y(0) = 1$$ dan $$y'(0) = 3$$. 2. Gunakan transformasi Laplace pada persamaan diferensial. Ingat bahwa transformasi Laplace dari turunan pertama adalah $$\mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0)$$ dan turunan kedua adalah $$\mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$$. 3. Terapkan transformasi Laplace: $$s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) + 3(sY(s) - y(0)) - 10Y(s) = 0$$ 4. Substitusi nilai kondisi awal: $$s^2Y(s) - s(1) - 3 + 3sY(s) - 3 - 10Y(s) = 0$$ 5. Gabungkan suku-suku: $$s^2Y(s) + 3sY(s) - 10Y(s) - s - 6 = 0$$ 6. Faktorkan $$Y(s)$$: $$Y(s)(s^2 + 3s - 10) = s + 6$$ 7. Pecahkan untuk $$Y(s)$$: $$Y(s) = \frac{s + 6}{s^2 + 3s - 10}$$ 8. Faktorkan penyebut: $$s^2 + 3s - 10 = (s + 5)(s - 2)$$ 9. Pisahkan pecahan parsial: $$\frac{s + 6}{(s + 5)(s - 2)} = \frac{A}{s + 5} + \frac{B}{s - 2}$$ 10. Kalikan kedua sisi dengan penyebut: $$s + 6 = A(s - 2) + B(s + 5)$$ 11. Substitusi $$s = 2$$: $$2 + 6 = A(0) + B(7) \Rightarrow 8 = 7B \Rightarrow B = \frac{8}{7}$$ 12. Substitusi $$s = -5$$: $$-5 + 6 = A(-7) + B(0) \Rightarrow 1 = -7A \Rightarrow A = -\frac{1}{7}$$ 13. Jadi, $$Y(s) = -\frac{1}{7}\frac{1}{s + 5} + \frac{8}{7}\frac{1}{s - 2}$$ 14. Gunakan tabel transformasi Laplace balik: $$\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s - a}\} = e^{at}$$ 15. Solusi homogen: $$y(t) = -\frac{1}{7}e^{-5t} + \frac{8}{7}e^{2t}$$ --- 16. Masalah kedua: Tentukan solusi persamaan diferensial non-homogen $$\frac{d^2y}{dt^2} + 3\frac{dy}{dt} - 10y = 5e^{3t}$$ dengan kondisi awal $$y(0) = 1$$ dan $$y'(0) = 3$$. 17. Terapkan transformasi Laplace: $$s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) + 3(sY(s) - y(0)) - 10Y(s) = 5\frac{1}{s - 3}$$ 18. Substitusi kondisi awal: $$s^2Y(s) - s - 3 + 3sY(s) - 3 - 10Y(s) = \frac{5}{s - 3}$$ 19. Gabungkan suku-suku: $$Y(s)(s^2 + 3s - 10) - s - 6 = \frac{5}{s - 3}$$ 20. Pecahkan untuk $$Y(s)$$: $$Y(s) = \frac{\frac{5}{s - 3} + s + 6}{s^2 + 3s - 10}$$ 21. Faktorkan penyebut: $$s^2 + 3s - 10 = (s + 5)(s - 2)$$ 22. Gabungkan pembilang: $$Y(s) = \frac{5}{(s - 3)(s + 5)(s - 2)} + \frac{s + 6}{(s + 5)(s - 2)}$$ 23. Sudah diketahui dari masalah pertama: $$\frac{s + 6}{(s + 5)(s - 2)} = -\frac{1}{7}\frac{1}{s + 5} + \frac{8}{7}\frac{1}{s - 2}$$ 24. Pisahkan pecahan parsial untuk suku pertama: $$\frac{5}{(s - 3)(s + 5)(s - 2)} = \frac{A}{s - 3} + \frac{B}{s + 5} + \frac{C}{s - 2}$$ 25. Kalikan kedua sisi dengan penyebut: $$5 = A(s + 5)(s - 2) + B(s - 3)(s - 2) + C(s - 3)(s + 5)$$ 26. Substitusi $$s = 3$$: $$5 = A(8)(1) \Rightarrow A = \frac{5}{8}$$ 27. Substitusi $$s = -5$$: $$5 = B(-8)(-7) \Rightarrow 5 = 56B \Rightarrow B = \frac{5}{56}$$ 28. Substitusi $$s = 2$$: $$5 = C(-1)(7) \Rightarrow 5 = -7C \Rightarrow C = -\frac{5}{7}$$ 29. Jadi, $$Y(s) = \frac{5}{8}\frac{1}{s - 3} + \frac{5}{56}\frac{1}{s + 5} - \frac{5}{7}\frac{1}{s - 2} - \frac{1}{7}\frac{1}{s + 5} + \frac{8}{7}\frac{1}{s - 2}$$ 30. Gabungkan suku dengan penyebut sama: $$Y(s) = \frac{5}{8}\frac{1}{s - 3} + \left(\frac{5}{56} - \frac{1}{7}\right)\frac{1}{s + 5} + \left(-\frac{5}{7} + \frac{8}{7}\right)\frac{1}{s - 2}$$ 31. Hitung koefisien: $$\frac{5}{56} - \frac{1}{7} = \frac{5}{56} - \frac{8}{56} = -\frac{3}{56}$$ $$-\frac{5}{7} + \frac{8}{7} = \frac{3}{7}$$ 32. Jadi, $$Y(s) = \frac{5}{8}\frac{1}{s - 3} - \frac{3}{56}\frac{1}{s + 5} + \frac{3}{7}\frac{1}{s - 2}$$ 33. Gunakan transformasi Laplace balik: $$y(t) = \frac{5}{8}e^{3t} - \frac{3}{56}e^{-5t} + \frac{3}{7}e^{2t}$$ Jawaban akhir: Masalah 1: $$y(t) = -\frac{1}{7}e^{-5t} + \frac{8}{7}e^{2t}$$ Masalah 2: $$y(t) = \frac{5}{8}e^{3t} - \frac{3}{56}e^{-5t} + \frac{3}{7}e^{2t}$$