1. Énonçons le problème : On doit résoudre une équation différentielle en utilisant la transformée de Laplace. 2. Rappel de la définition de la transformée de Laplace : Pour une fonction $f(t)$, sa transformée de Laplace est $$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt.$$ Cette méthode permet de transformer une équation différentielle en une équation algébrique. 3. Appliquons la transformée de Laplace à chaque terme de l'équation différentielle donnée (non précisée ici, donc supposons $y'(t) + ay(t) = g(t)$). 4. Utilisons la propriété : $$\mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0),$$ où $Y(s)$ est la transformée de $y(t)$. 5. L'équation transformée devient : $$sY(s) - y(0) + aY(s) = G(s),$$ où $G(s) = \mathcal{L}\{g(t)\}$. 6. Regroupons les termes en $Y(s)$ : $$Y(s)(s + a) = G(s) + y(0).$$ 7. Isolons $Y(s)$ : $$Y(s) = \frac{G(s) + y(0)}{s + a}.$$ 8. Pour trouver $y(t)$, appliquons la transformée inverse de Laplace : $$y(t) = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{G(s) + y(0)}{s + a} \right\}.$$ 9. Selon la forme de $G(s)$, on utilise des tables ou propriétés pour inverser la transformée. 10. Conclusion : La méthode de Laplace transforme l'équation différentielle en une équation algébrique plus simple à résoudre, puis on revient à la solution temporelle par transformée inverse.