1. Diberikan persamaan diferensial koefisien linier nonhomogen: $$ (a_1 x + b_1 y + c_1) dx + (a_2 x + b_2 y + c_2) dy = 0 $$ Dengan nilai koefisien: $$ a_1 = -5, b_1 = 1, c_1 = -3, a_2 = 10, b_2 = -3, c_2 = 7 $$ 2. Substitusikan nilai koefisien ke persamaan: $$ (-5x + y - 3) dx + (10x - 3y + 7) dy = 0 $$ 3. Persamaan ini dapat ditulis ulang sebagai: $$ M(x,y) = -5x + y - 3, \quad N(x,y) = 10x - 3y + 7 $$ 4. Cek apakah persamaan ini eksak dengan menghitung turunan parsial: $$ \frac{\partial M}{\partial y} = 1, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 10 $$ Karena $$1 \neq 10$$, persamaan tidak eksak. 5. Karena koefisien linier, kita coba substitusi: $$ u = a_1 x + b_1 y + c_1 = -5x + y - 3 $$ $$ v = a_2 x + b_2 y + c_2 = 10x - 3y + 7 $$ 6. Hitung diferensial: $$ du = -5 dx + dy $$ $$ dv = 10 dx - 3 dy $$ 7. Dari sistem ini, kita dapat menyelesaikan untuk $dx$ dan $dy$: $$ \begin{cases} -5 dx + dy = du \\ 10 dx - 3 dy = dv \end{cases} $$ 8. Kalikan persamaan pertama dengan 3 dan jumlahkan dengan persamaan kedua: $$ -15 dx + 3 dy = 3 du $$ $$ 10 dx - 3 dy = dv $$ Jumlahkan: $$ (-15 + 10) dx + (3 - 3) dy = 3 du + dv $$ $$ -5 dx = 3 du + dv $$ 9. Sehingga: $$ dx = -\frac{3 du + dv}{5} $$ 10. Substitusikan $dx$ ke persamaan $du = -5 dx + dy$: $$ du = -5 \left(-\frac{3 du + dv}{5}\right) + dy = 3 du + dv + dy $$ 11. Sederhanakan untuk $dy$: $$ dy = du - 3 du - dv = -2 du - dv $$ 12. Sekarang substitusi $dx$ dan $dy$ ke persamaan diferensial awal: $$ (-5x + y - 3) dx + (10x - 3y + 7) dy = u dx + v dy = 0 $$ 13. Ganti $dx$ dan $dy$: $$ u \left(-\frac{3 du + dv}{5}\right) + v (-2 du - dv) = 0 $$ 14. Kalikan seluruh persamaan dengan 5 untuk menghilangkan penyebut: $$ -u (3 du + dv) - 5 v (2 du + dv) = 0 $$ 15. Kembangkan: $$ -3 u du - u dv - 10 v du - 5 v dv = 0 $$ 16. Kelompokkan suku $du$ dan $dv$: $$ (-3 u - 10 v) du + (-u - 5 v) dv = 0 $$ 17. Ini adalah persamaan diferensial dalam variabel $u$ dan $v$. 18. Misalkan $v$ sebagai fungsi dari $u$, maka: $$ \frac{dv}{du} = -\frac{3 u + 10 v}{u + 5 v} $$ 19. Ini adalah persamaan diferensial orde pertama yang dapat diselesaikan dengan substitusi homogen atau metode lain. 20. Substitusi: $$ w = \frac{v}{u} \Rightarrow v = w u $$ 21. Turunkan $v$ terhadap $u$: $$ \frac{dv}{du} = w + u \frac{dw}{du} $$ 22. Substitusi ke persamaan diferensial: $$ w + u \frac{dw}{du} = -\frac{3 u + 10 w u}{u + 5 w u} = -\frac{3 + 10 w}{1 + 5 w} $$ 23. Sederhanakan: $$ u \frac{dw}{du} = -\frac{3 + 10 w}{1 + 5 w} - w = \frac{-3 - 10 w - w - 5 w^2}{1 + 5 w} = \frac{-3 - 11 w - 5 w^2}{1 + 5 w} $$ 24. Jadi: $$ u \frac{dw}{du} = \frac{-3 - 11 w - 5 w^2}{1 + 5 w} $$ 25. Pisahkan variabel: $$ \frac{1 + 5 w}{-3 - 11 w - 5 w^2} dw = \frac{1}{u} du $$ 26. Integral kedua sisi: $$ \int \frac{1 + 5 w}{-3 - 11 w - 5 w^2} dw = \int \frac{1}{u} du $$ 27. Integral sebelah kanan: $$ \int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C $$ 28. Integral sebelah kiri dapat diselesaikan dengan metode pecahan parsial atau substitusi kuadrat. 29. Setelah integrasi dan penyederhanaan, solusi implisit diperoleh dalam bentuk: $$ F(w) = \ln |u| + C $$ 30. Kembalikan ke variabel asli: $$ w = \frac{v}{u} = \frac{10 x - 3 y + 7}{-5 x + y - 3} $$ Jadi solusi 1-parameter persamaan diferensial adalah: $$ \boxed{\int \frac{1 + 5 w}{-3 - 11 w - 5 w^2} dw = \ln | -5 x + y - 3 | + C} $$ Dimana $C$ adalah konstanta integrasi.