1. Diketahui persamaan diferensial orde kedua nonhomogen: $$\frac{d^2 y}{dx^2} - 8 \frac{dy}{dx} + 16y = 24 e^{4x}$$ 2. (a) Solusi homogen $y_h$ didapat dari menyelesaikan persamaan homogen: $$\frac{d^2 y}{dx^2} - 8 \frac{dy}{dx} + 16y = 0$$ Karakteristik persamaan: $$r^2 - 8r + 16 = 0$$ Faktorkan: $$\cancel{(r-4)}\cancel{(r-4)} = 0$$ Sehingga akar kembar $r=4$. 3. Solusi homogen: $$y_h = (C_1 + C_2 x) e^{4x}$$ 4. (b) Solusi partikulir $y_k$ untuk ruas kanan $24 e^{4x}$, karena $e^{4x}$ sudah solusi homogen dengan akar kembar, gunakan bentuk: $$y_k = A x^2 e^{4x}$$ 5. Turunan pertama dan kedua: $$y_k' = A (2x e^{4x} + 4x^2 e^{4x}) = A e^{4x} (2x + 4x^2)$$ $$y_k'' = A e^{4x} (2 + 8x + 8x + 16x^2) = A e^{4x} (2 + 16x + 16x^2)$$ 6. Substitusi ke persamaan: $$y_k'' - 8 y_k' + 16 y_k = 24 e^{4x}$$ $$A e^{4x} (2 + 16x + 16x^2) - 8 A e^{4x} (2x + 4x^2) + 16 A x^2 e^{4x} = 24 e^{4x}$$ 7. Kelompokkan: $$A e^{4x} [2 + 16x + 16x^2 - 16x - 32x^2 + 16x^2] = 24 e^{4x}$$ $$A e^{4x} [2 + (16x - 16x) + (16x^2 - 32x^2 + 16x^2)] = 24 e^{4x}$$ $$A e^{4x} [2 + 0 + 0] = 24 e^{4x}$$ 8. Sederhanakan: $$2A e^{4x} = 24 e^{4x}$$ $$2A = 24$$ $$A = 12$$ 9. Jadi solusi partikulir: $$y_k = 12 x^2 e^{4x}$$ 10. (c) Solusi umum: $$y = y_h + y_k = (C_1 + C_2 x) e^{4x} + 12 x^2 e^{4x}$$ 11. (d) Gunakan kondisi awal $y(0) = N - 1$ dan $y'(0) = N + 3$ untuk menentukan $C_1$ dan $C_2$. 12. Hitung $y(0)$: $$y(0) = (C_1 + C_2 \cdot 0) e^{0} + 12 \cdot 0^2 e^{0} = C_1 = N - 1$$ 13. Hitung turunan $y'$: $$y' = \frac{d}{dx} \left[(C_1 + C_2 x) e^{4x} + 12 x^2 e^{4x} \right]$$ Gunakan aturan produk: $$y' = (C_2) e^{4x} + (C_1 + C_2 x) 4 e^{4x} + 24 x e^{4x} + 48 x^2 e^{4x}$$ 14. Evaluasi di $x=0$: $$y'(0) = C_2 e^{0} + C_1 4 e^{0} + 0 + 0 = C_2 + 4 C_1 = N + 3$$ 15. Substitusi $C_1 = N - 1$: $$C_2 + 4 (N - 1) = N + 3$$ $$C_2 = N + 3 - 4N + 4 = -3N + 7$$ 16. Jadi solusi akhir: $$y = (N - 1 + (-3N + 7) x) e^{4x} + 12 x^2 e^{4x}$$