1. Das Problem: Wir suchen ein Beispiel für eine Differentialgleichung $y' = f(t,y)$, bei der der Peano-Existenzsatz gilt, aber der Satz von Picard-Lindelöf nicht anwendbar ist. 2. Wichtig: Der Peano-Satz verlangt nur Stetigkeit von $f$, während der Picard-Lindelöf-Satz zusätzlich eine Lipschitz-Bedingung in $y$ fordert. 3. Beispiel: Betrachte die Differentialgleichung $$y' = \sqrt{|y|}, \quad y(0) = 0$$ 4. Analyse: - Die Funktion $f(y) = \sqrt{|y|}$ ist stetig für alle $y$. - Allerdings ist $f$ nicht Lipschitz-stetig in $y=0$, da die Ableitung von $\sqrt{|y|}$ bei $y=0$ nicht beschränkt ist. 5. Anwendung der Sätze: - Nach Peano existiert mindestens eine lokale Lösung. - Nach Picard-Lindelöf ist keine Eindeutigkeit garantiert, da Lipschitz-Bedingung fehlt. 6. Tatsächlich gibt es mehrere Lösungen, z.B. - Die triviale Lösung $y(t) = 0$. - Die Lösung $y(t) = \frac{t^2}{4}$. 7. Fazit: Dieses Beispiel zeigt, dass der Peano-Satz Existenz garantiert, aber ohne Lipschitz-Bedingung keine Eindeutigkeit nach Picard-Lindelöf.