1. مسئله: یافتن جواب خصوصی معادله دیفرانسیل $$D(D^2+9)(D^2-8D+25)^2 y = x + x^2 \sin^3 x + x^2 e^{-8x} \cos 3x$$ 2. فرمول‌ها و قواعد مهم: - $D$ نشان‌دهنده مشتق نسبت به $x$ است. - برای یافتن جواب خصوصی، هر جمله سمت راست را جداگانه بررسی می‌کنیم. - از روش‌های ضرایب نامعین یا تغییر پارامترها استفاده می‌شود. 3. تجزیه سمت راست: - جمله اول: $x$ - جمله دوم: $x^2 \sin^3 x$ - جمله سوم: $x^2 e^{-8x} \cos 3x$ 4. برای هر جمله: - $x$: جواب خصوصی از نوع چندجمله‌ای خطی. - $x^2 \sin^3 x$: چون سینوس به توان ۳ است، ابتدا با استفاده از فرمول‌های مثلثاتی آن را به صورت جمع سینوس‌ها و کسینوس‌ها بازنویسی می‌کنیم. - $x^2 e^{-8x} \cos 3x$: جواب خصوصی از نوع تابع نمایی ضرب در کسینوس. 5. حل معادله: - ابتدا ریشه‌های معادله مشخصه را می‌یابیم. - سپس جواب کلی معادله همگن را می‌نویسیم. - در نهایت جواب خصوصی را با توجه به سمت راست معادله پیدا می‌کنیم. 6. نتیجه: این معادله پیچیده است و نیاز به مراحل طولانی دارد که در اینجا فقط روش کلی بیان شد. --- برای سوال 15: 1. مسئله: یافتن جواب عمومی معادله $$y''' - 3y'' + 4y' - 12y = x + e^{2x}$$ 2. معادله همگن متناظر: $$y''' - 3y'' + 4y' - 12y = 0$$ 3. معادله مشخصه: $$r^3 - 3r^2 + 4r - 12 = 0$$ 4. با آزمون ریشه‌ها، $r=3$ ریشه است. تقسیم چندجمله‌ای می‌دهد: $$ (r-3)(r^2 + 4) = 0 $$ 5. ریشه‌ها: $$r=3, r=2i, r=-2i$$ 6. جواب همگن: $$y_h = C_1 e^{3x} + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$$ 7. جواب خصوصی: - برای $x$: فرض می‌کنیم $y_p = Ax + B$ - برای $e^{2x}$: فرض می‌کنیم $y_p = Ce^{2x}$ 8. با جایگذاری و حل ضرایب، جواب خصوصی را می‌یابیم. 9. جواب کلی: $$y = y_h + y_p$$ --- برای سوال 12: 1. مسئله: یافتن جواب عمومی معادله $$y' - 9y = \sec x \csc x$$ 2. معادله خطی مرتبه اول است. 3. ضریب انتگرال‌کننده: $$\mu = e^{-9x}$$ 4. معادله را به صورت: $$\frac{d}{dx}(y e^{-9x}) = e^{-9x} \sec x \csc x$$ 5. انتگرال سمت راست را محاسبه می‌کنیم و سپس $y$ را پیدا می‌کنیم. --- برای سوال 9: 1. مسئله: یافتن جواب عمومی معادله $$y'' - 2y' + y = \frac{e^x}{(1+x)^2}$$ 2. معادله همگن: $$y'' - 2y' + y = 0$$ 3. معادله مشخصه: $$(r-1)^2 = 0$$ 4. جواب همگن: $$y_h = (C_1 + C_2 x) e^x$$ 5. چون سمت راست پیچیده است، از روش تغییر پارامترها استفاده می‌کنیم. 6. جواب کلی: $$y = y_h + y_p$$ --- تعداد سوالات: 4