1. مسئله: معادله دیفرانسیل $$2x^2 y'' + 3xy' - (1+x)y = 0$$ را به صورت سری توانی حول نقطه $$x_0=0$$ حل کنیم. 2. فرض می‌کنیم جواب به صورت سری توانی باشد: $$y = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$$ 3. مشتقات اول و دوم را محاسبه می‌کنیم: $$y' = \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}$$ $$y'' = \sum_{n=2}^\infty n(n-1) a_n x^{n-2}$$ 4. جایگذاری در معادله: $$2x^2 \sum_{n=2}^\infty n(n-1) a_n x^{n-2} + 3x \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1} - (1+x) \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = 0$$ 5. ساده‌سازی توان‌ها: $$2 \sum_{n=2}^\infty n(n-1) a_n x^n + 3 \sum_{n=1}^\infty n a_n x^n - \sum_{n=0}^\infty a_n x^n - \sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+1} = 0$$ 6. بازنویسی جمله آخر با شاخص جدید: $$\sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+1} = \sum_{n=1}^\infty a_{n-1} x^n$$ 7. معادله به شکل: $$2 \sum_{n=2}^\infty n(n-1) a_n x^n + 3 \sum_{n=1}^\infty n a_n x^n - \sum_{n=0}^\infty a_n x^n - \sum_{n=1}^\infty a_{n-1} x^n = 0$$ 8. جدا کردن جمله $$n=0$$ از جمله سوم: $$-a_0 + \sum_{n=1}^\infty \left(2 n(n-1) a_n + 3 n a_n - a_n - a_{n-1}\right) x^n = 0$$ 9. برای برابری با صفر، ضرایب هر توان $$x^n$$ باید صفر باشند: - برای $$n=0$$: $$-a_0 = 0 \Rightarrow a_0 = 0$$ - برای $$n \geq 1$$: $$2 n(n-1) a_n + 3 n a_n - a_n - a_{n-1} = 0$$ 10. ساده‌سازی رابطه بازگشتی: $$\left(2 n(n-1) + 3 n - 1\right) a_n = a_{n-1}$$ 11. محاسبه ضریب: $$2 n^2 - 2 n + 3 n - 1 = 2 n^2 + n - 1$$ 12. رابطه بازگشتی نهایی: $$a_n = \frac{a_{n-1}}{2 n^2 + n - 1}$$ 13. با توجه به $$a_0$$ دلخواه، ضرایب بعدی را می‌توان محاسبه کرد: $$a_1 = \frac{a_0}{2(1)^2 + 1 - 1} = \frac{a_0}{2 + 1 - 1} = \frac{a_0}{2}$$ $$a_2 = \frac{a_1}{2(2)^2 + 2 - 1} = \frac{a_1}{8 + 2 - 1} = \frac{a_1}{9} = \frac{a_0}{2 \times 9} = \frac{a_0}{18}$$ و به همین ترتیب ادامه می‌دهیم. 14. بنابراین جواب سری توانی حول $$x=0$$ به صورت: $$y = a_0 \left(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{18} + \cdots \right)$$ که $$a_0$$ ثابت دلخواه است. جواب نهایی: سری توانی حل معادله با ضرایب بازگشتی $$a_n = \frac{a_{n-1}}{2 n^2 + n - 1}$$ و $$a_0$$ دلخواه است.