1. Tentukan solusi trayektori ortogonal dari keluarga kurva: **a.** $5x^2 + y = \lambda$ 1. Masalah: Cari kurva ortogonal dari keluarga kurva $5x^2 + y = \lambda$. 2. Turunkan implisit terhadap $x$: $$\frac{d}{dx}(5x^2 + y) = \frac{d}{dx}(\lambda) \Rightarrow 10x + \frac{dy}{dx} = 0$$ 3. Turunan keluarga kurva: $$\frac{dy}{dx} = -10x$$ 4. Gradien ortogonal adalah negatif kebalikan: $$\frac{dy}{dx}_{ortho} = \frac{1}{10x}$$ 5. Persamaan diferensial ortogonal: $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{10x}$$ 6. Integrasi: $$y = \int \frac{1}{10x} dx = \frac{1}{10} \ln|x| + C$$ **b.** $x^2 - 4y^2 = \lambda^2$ 1. Turunkan implisit: $$2x - 8y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{8y} = \frac{x}{4y}$$ 2. Gradien ortogonal: $$\frac{dy}{dx}_{ortho} = -\frac{4y}{x}$$ 3. Persamaan diferensial: $$\frac{dy}{dx} = -\frac{4y}{x}$$ 4. Pisahkan variabel: $$\frac{dy}{y} = -4 \frac{dx}{x}$$ 5. Integrasi: $$\ln|y| = -4 \ln|x| + C = \ln|x|^{-4} + C$$ 6. Bentuk solusi: $$y = C x^{-4}$$ **c.** $y = \sqrt{2}x + \lambda$ 1. Turunan keluarga kurva: $$\frac{dy}{dx} = \sqrt{2}$$ 2. Gradien ortogonal: $$\frac{dy}{dx}_{ortho} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$$ 3. Persamaan diferensial: $$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$$ 4. Integrasi: $$y = -\frac{1}{\sqrt{2}} x + C$$ 2. Tentukan solusi teorema operator D: **d.** $\frac{1}{D^2 + 3D - 10} \cdot e^{-3x}$ 1. Operator karakteristik: $$D^2 + 3D - 10 = 0$$ 2. Faktorkan: $$ (D + 5)(D - 2)$$ 3. Karena $e^{-3x}$, substitusi $D = -3$: $$(-3)^2 + 3(-3) - 10 = 9 - 9 - 10 = -10 \neq 0$$ 4. Solusi: $$y = \frac{1}{(-3)^2 + 3(-3) - 10} e^{-3x} = \frac{1}{-10} e^{-3x} = -\frac{1}{10} e^{-3x}$$ **e.** $(D^2 + 1)(e^{-3x} (x - 2))$ 1. Hitung turunan: $$y = e^{-3x} (x - 2)$$ 2. Turunan pertama: $$y' = -3 e^{-3x} (x - 2) + e^{-3x} = e^{-3x} (-3x + 6 + 1) = e^{-3x} (-3x + 7)$$ 3. Turunan kedua: $$y'' = -3 e^{-3x} (-3x + 7) + e^{-3x} (-3) = e^{-3x} (9x - 21 - 3) = e^{-3x} (9x - 24)$$ 4. Hitung $(D^2 + 1) y = y'' + y$: $$e^{-3x} (9x - 24) + e^{-3x} (x - 2) = e^{-3x} (9x - 24 + x - 2) = e^{-3x} (10x - 26)$$ **f.** $\frac{1}{D^2 - 1} (e^{-2x} (x^2))$ 1. Operator: $$D^2 - 1 = (D - 1)(D + 1)$$ 2. Karena $e^{-2x}$, substitusi $D = -2$: $$(-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3 \neq 0$$ 3. Solusi: $$y = \frac{1}{3} e^{-2x} x^2$$ **Jawaban akhir:** a. $y = \frac{1}{10} \ln|x| + C$ b. $y = C x^{-4}$ c. $y = -\frac{1}{\sqrt{2}} x + C$ d. $y = -\frac{1}{10} e^{-3x}$ e. $y = e^{-3x} (10x - 26)$ f. $y = \frac{1}{3} e^{-2x} x^2$