1. **Nyatakan masalah:** Selesaikan persamaan pembezaan linear tak seragam $$3y'' + 7y' + 2y = (x+1)e^{-2x}$$ 2. **Normalisasi persamaan:** Bahagikan dengan 3 supaya bentuk standard $$y'' + \frac{7}{3}y' + \frac{2}{3}y = \frac{x+1}{3} e^{-2x}$$ Fungsi bukan homogen ialah $$f(x) = \frac{x+1}{3} e^{-2x}$$ 3. **Cari penyelesaian setara ($y_c$):** Selesaikan persamaan homogen $$3m^2 + 7m + 2 = 0$$ Faktor dan cari akar $$m_1 = -\frac{1}{3}, \quad m_2 = -2$$ Jadi $$y_c = A e^{-\frac{1}{3}x} + B e^{-2x}$$ 4. **Hitung Wronskian ($W$):** $$y_1 = e^{-\frac{1}{3}x}, \quad y_2 = e^{-2x}$$ $$y_1' = -\frac{1}{3} e^{-\frac{1}{3}x}, \quad y_2' = -2 e^{-2x}$$ $$W = y_1 y_2' - y_2 y_1' = -2 e^{-\frac{7}{3}x} + \frac{1}{3} e^{-\frac{7}{3}x} = -\frac{5}{3} e^{-\frac{7}{3}x}$$ 5. **Cari $u_1'$ dan $u_2'$:** $$u_1' = -\frac{y_2 f(x)}{W} = \frac{1}{5} (x+1) e^{-\frac{5}{3}x}$$ $$u_2' = \frac{y_1 f(x)}{W} = -\frac{1}{5} (x+1)$$ 6. **Integrasi untuk $u_1$ dan $u_2$:** $$u_2 = \int -\frac{1}{5} (x+1) dx = -\frac{x^2}{10} - \frac{x}{5}$$ Untuk $u_1$, gunakan integrasi bahagian: $$u_1 = \int \frac{1}{5} (x+1) e^{-\frac{5}{3}x} dx = \frac{e^{-\frac{5}{3}x}}{125} (-15x - 24)$$ 7. **Cari penyelesaian khusus $y_p$:** $$y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2 = e^{-2x} \left(-\frac{x^2}{10} - \frac{8}{25}x - \frac{24}{125}\right)$$ 8. **Semakan dan kesimpulan:** Kaedah Pekali Tak Tentu menghasilkan $$y_p = e^{-2x} \left(-\frac{x^2}{10} - \frac{8}{25}x\right)$$ Lebih mudah dan konsisten dengan penyelesaian akhir. 9. **Penyelesaian umum:** $$y = A e^{-\frac{1}{3}x} + \left(B - \frac{1}{10}x^2 - \frac{8}{25}x\right) e^{-2x}$$ Ini adalah penyelesaian lengkap persamaan pembezaan yang diberikan menggunakan kaedah variasi parameter dan pekali tak tentu.