1. **Énoncé du problème :** Nous avons une équation différentielle (E1) : $$y' = 0,022y(20 - y)$$ où $f(t)$ représente le nombre de ménages équipés d'un ordinateur en millions, $t$ années après 1980. 2. **Transformation de l'équation (1.a) :** On pose $u = \frac{1}{f}$. Montrons que $f$ solution de (E1) équivaut à $u$ solution de (E2) : $$y' = -0,44y + 0,022$$ Calculons $u' = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{f}\right) = -\frac{f'}{f^2}$. Or, d'après (E1), $f' = 0,022f(20 - f)$. Donc, $$u' = -\frac{0,022f(20 - f)}{f^2} = -0,022 \frac{20f - f^2}{f^2} = -0,022 \left(\frac{20}{f} - 1\right) = -0,022(20u - 1) = -0,44u + 0,022$$ Ainsi, $u$ satisfait bien (E2). 3. **Résolution de (E2) (1.b) :** L'équation est linéaire : $$u' + 0,44u = 0,022$$ Le facteur intégrant est $$\mu(t) = e^{\int 0,44 dt} = e^{0,44t}$$ Multipliant l'équation par $\mu(t)$ : $$\frac{d}{dt}(u e^{0,44t}) = 0,022 e^{0,44t}$$ Intégrons de 0 à $t$ : $$u(t) e^{0,44t} - u(0) = 0,022 \int_0^t e^{0,44x} dx = 0,022 \left[ \frac{e^{0,44x}}{0,44} \right]_0^t = \frac{0,022}{0,44} (e^{0,44t} - 1) = 0,05 (e^{0,44t} - 1)$$ Donc, $$u(t) = u(0) e^{-0,44t} + 0,05 (1 - e^{-0,44t})$$ 4. **Condition initiale :** En 1980 ($t=0$), $f(0) = 0,01$ million (10 000 ménages), donc $$u(0) = \frac{1}{f(0)} = 100$$ D'où $$u(t) = 100 e^{-0,44t} + 0,05 (1 - e^{-0,44t}) = 0,05 + 99,95 e^{-0,44t}$$ 5. **Résolution de (E1) (1.c) :** Rappel : $f = \frac{1}{u}$, donc $$f(t) = \frac{1}{0,05 + 99,95 e^{-0,44t}} = \frac{1}{\frac{1}{20} + 1999 e^{-0,44t} \times \frac{1}{1999}} = \frac{20}{1 + 1999 e^{-0,44t}}$$ 6. **Formule finale (2) :** La fonction $f$ est définie sur $[0;40]$ par $$f(t) = \frac{20}{1 + 1999 e^{-0,44t}}$$ 7. **Interprétation (3) :** En 2014 ($t=34$), selon l'Insee, 78,8 % des 28 765,9 milliers de ménages étaient équipés, soit environ 22,666 millions. Calculons $f(34)$ : $$f(34) = \frac{20}{1 + 1999 e^{-0,44 \times 34}}$$ Le modèle prédit un nombre inférieur à la réalité car il suppose une capacité maximale de 20 millions de ménages équipés, ce qui est sous-estimé par rapport aux données réelles. **Conclusion :** Le modèle de Verhulst avec ces paramètres sous-estime la croissance réelle du nombre de ménages équipés d'ordinateurs en France.