Kylling Vægt 5Fb48D

1. **Problemformulering:** Vi har en differentialligning, der beskriver vægten $m(t)$ af en kylling i gram som funktion af tiden $t$ i døgn: $$\frac{dm}{dt} = m \cdot (0{,}156 - 8{,}6 \cdot 10^{-5} \cdot m)$$ Vi ved, at efter 10 døgn er $m(10) = 254$ gram. Vi skal finde: a) Væksthastigheden $\frac{dm}{dt}$ efter 10 døgn. b) En forskrift for $m(t)$. c) Hvornår væksthastigheden er størst. 2. **a) Væksthastighed efter 10 døgn:** Vi indsætter $t=10$ og $m=254$ i differentialligningen: $$\frac{dm}{dt} = 254 \cdot (0{,}156 - 8{,}6 \cdot 10^{-5} \cdot 254)$$ Først beregner vi udtrykket i parentes: $$0{,}156 - 8{,}6 \cdot 10^{-5} \cdot 254 = 0{,}156 - 0{,}021844 = 0{,}134156$$ Så: $$\frac{dm}{dt} = 254 \cdot 0{,}134156 = 34{,}08$$ Væksthastigheden efter 10 døgn er altså ca. 34,08 gram pr. døgn. 3. **b) Bestemmelse af en forskrift for $m(t)$:** Differentialligningen er separabel: $$\frac{dm}{dt} = m (0{,}156 - 8{,}6 \cdot 10^{-5} m)$$ Omskrives til: $$\frac{dm}{m (0{,}156 - 8{,}6 \cdot 10^{-5} m)} = dt$$ Vi kan sætte $a = 0{,}156$ og $b = 8{,}6 \cdot 10^{-5}$ for at gøre det lettere: $$\frac{dm}{m (a - b m)} = dt$$ Vi bruger partialbrøksopløsning: $$\frac{1}{m (a - b m)} = \frac{A}{m} + \frac{B}{a - b m}$$ Multiplicer med nævneren: $$1 = A (a - b m) + B m = A a - A b m + B m = A a + m (B - A b)$$ Sammenlign koefficienter: - For $m$: $0 = B - A b \Rightarrow B = A b$ - Konstantled: $1 = A a \Rightarrow A = \frac{1}{a}$ Så: $$B = \frac{b}{a}$$ Integralet bliver: $$\int \left( \frac{1/a}{m} + \frac{b/a}{a - b m} \right) dm = \int dt$$ Integrer hver del: $$\frac{1}{a} \int \frac{1}{m} dm + \frac{b}{a} \int \frac{1}{a - b m} dm = t + C$$ Vi har: $$\int \frac{1}{m} dm = \ln|m|$$ $$\int \frac{1}{a - b m} dm = -\frac{1}{b} \ln|a - b m|$$ Så: $$\frac{1}{a} \ln|m| - \frac{b}{a b} \ln|a - b m| = t + C$$ $$\Rightarrow \frac{1}{a} \ln|m| - \frac{1}{a} \ln|a - b m| = t + C$$ Saml logaritmer: $$\frac{1}{a} \ln \left| \frac{m}{a - b m} \right| = t + C$$ Gang med $a$: $$\ln \left| \frac{m}{a - b m} \right| = a t + C'$$ Eksponentier begge sider: $$\left| \frac{m}{a - b m} \right| = e^{a t + C'} = K e^{a t}$$ Hvor $K = e^{C'}$ er en konstant bestemt af begyndelsesbetingelsen. Omskriv til: $$\frac{m}{a - b m} = K e^{a t}$$ Løs for $m$: $$m = K e^{a t} (a - b m) = a K e^{a t} - b K e^{a t} m$$ Saml $m$-leddene: $$m + b K e^{a t} m = a K e^{a t}$$ $$m (1 + b K e^{a t}) = a K e^{a t}$$ $$m = \frac{a K e^{a t}}{1 + b K e^{a t}}$$ 4. **Bestem konstanten $K$ ved $t=10$, $m=254$:** $$254 = \frac{a K e^{a \cdot 10}}{1 + b K e^{a \cdot 10}}$$ Sæt $X = K e^{a \cdot 10}$: $$254 = \frac{a X}{1 + b X}$$ Omskriv: $$254 (1 + b X) = a X$$ $$254 + 254 b X = a X$$ $$254 = a X - 254 b X = X (a - 254 b)$$ $$X = \frac{254}{a - 254 b}$$ Indsæt værdier: $$a = 0{,}156, \quad b = 8{,}6 \cdot 10^{-5}$$ $$a - 254 b = 0{,}156 - 254 \cdot 8{,}6 \cdot 10^{-5} = 0{,}156 - 0{,}021844 = 0{,}134156$$ Så: $$X = \frac{254}{0{,}134156} = 1893{,}5$$ Recall $X = K e^{a \cdot 10}$, så: $$K = \frac{X}{e^{a \cdot 10}} = \frac{1893{,}5}{e^{0{,}156 \cdot 10}} = \frac{1893{,}5}{e^{1{,}56}}$$ Beregn $e^{1{,}56} \approx 4{,}76$: $$K \approx \frac{1893{,}5}{4{,}76} = 397{,}7$$ 5. **Endelig forskrift for $m(t)$:** $$m(t) = \frac{0{,}156 \cdot 397{,}7 e^{0{,}156 t}}{1 + 8{,}6 \cdot 10^{-5} \cdot 397{,}7 e^{0{,}156 t}} = \frac{62{,}1 e^{0{,}156 t}}{1 + 0{,}0342 e^{0{,}156 t}}$$ 6. **c) Tidspunkt for maksimal væksthastighed:** Væksthastigheden er: $$\frac{dm}{dt} = m (a - b m)$$ For at finde maksimum, differentierer vi væksthastigheden med hensyn til $t$ og sætter den lig 0: Brug kædereglen: $$\frac{d}{dt} \left( m (a - b m) \right) = m' (a - b m) + m (-b m') = m' (a - 2 b m)$$ Sæt $\frac{d}{dt} (\frac{dm}{dt}) = 0$: $$m' (a - 2 b m) = 0$$ Da $m' \neq 0$ (vækst sker), må: $$a - 2 b m = 0 \Rightarrow m = \frac{a}{2 b}$$ Indsæt værdier: $$m = \frac{0{,}156}{2 \cdot 8{,}6 \cdot 10^{-5}} = \frac{0{,}156}{0{,}000172} = 906{,}98$$ Find $t$ hvor $m(t) = 906{,}98$: $$906{,}98 = \frac{a K e^{a t}}{1 + b K e^{a t}}$$ Omskriv: $$906{,}98 (1 + b K e^{a t}) = a K e^{a t}$$ $$906{,}98 + 906{,}98 b K e^{a t} = a K e^{a t}$$ $$906{,}98 = a K e^{a t} - 906{,}98 b K e^{a t} = K e^{a t} (a - 906{,}98 b)$$ Beregn $a - 906{,}98 b$: $$0{,}156 - 906{,}98 \cdot 8{,}6 \cdot 10^{-5} = 0{,}156 - 0{,}077 = 0{,}079$$ Så: $$906{,}98 = K e^{a t} \cdot 0{,}079 \Rightarrow e^{a t} = \frac{906{,}98}{0{,}079 K}$$ Indsæt $K = 397{,}7$: $$e^{0{,}156 t} = \frac{906{,}98}{0{,}079 \cdot 397{,}7} = \frac{906{,}98}{31{,}4} = 28{,}9$$ Tag den naturlige logaritme: $$0{,}156 t = \ln(28{,}9) = 3{,}36$$ $$t = \frac{3{,}36}{0{,}156} = 21{,}54$$ **Svar:** - a) Væksthastigheden efter 10 døgn er ca. 34,08 gram pr. døgn. - b) Forskriften for vægten er: $$m(t) = \frac{62{,}1 e^{0{,}156 t}}{1 + 0{,}0342 e^{0{,}156 t}}$$ - c) Væksthastigheden er størst, når kyllingen er ca. 21,5 døgn gammel.