1. **Problemstellung:** Zeichne ein Phasenportrait für das autonome System $$X' = X(1 - Y), \quad Y' = \frac{1}{3} Y \left(X - \frac{3}{2}\right)$$ 2. **Formeln und wichtige Regeln:** - Ein Phasenportrait zeigt die Richtung der Vektorfelder $(X', Y')$ in der Ebene. - Nullstellen (Gleichgewichtspunkte) findet man, indem man $X' = 0$ und $Y' = 0$ löst. 3. **Gleichgewichtspunkte bestimmen:** - Für $X' = 0$ gilt $X(1 - Y) = 0$, also entweder $X=0$ oder $Y=1$. - Für $Y' = 0$ gilt $\frac{1}{3} Y (X - \frac{3}{2}) = 0$, also entweder $Y=0$ oder $X=\frac{3}{2}$. 4. **Gleichgewichtspunkte sind:** - $(0,0)$ (weil $X=0$, $Y=0$) - $(0,1)$ (weil $X=0$, $Y=1$) - $(\frac{3}{2},0)$ (weil $X=\frac{3}{2}$, $Y=0$) - $(\frac{3}{2},1)$ (weil $X=\frac{3}{2}$, $Y=1$) 5. **Phasenportrait zeichnen:** - Zeichne die Punkte. - An verschiedenen Stellen berechne die Vektoren $(X', Y')$. - Zeichne Pfeile entsprechend der Richtung und Stärke. 6. **Interpretation:** - Das System zeigt Wachstum und Abnahme abhängig von $X$ und $Y$. - Die Linien $X=0$, $Y=1$, $Y=0$, $X=\frac{3}{2}$ sind wichtige Trennlinien. **Endergebnis:** Das Phasenportrait zeigt die Dynamik des Systems mit den vier Gleichgewichtspunkten und den Richtungen der Vektorfelder in der Ebene.