1. **Planteamiento del problema:** Se tiene una empresa que vende cajas de producto a un precio dado por la función $p = 50 - 2q$, donde $q$ es la cantidad de cajas vendidas por semana. El costo total semanal de producción es $C(q) = 100 + 10q$. Se debe encontrar la cantidad $q$ que maximiza la utilidad semanal y luego calcular dicha utilidad máxima. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** La utilidad $U(q)$ se define como la diferencia entre los ingresos totales y los costos totales: $$U(q) = I(q) - C(q)$$ Los ingresos totales $I(q)$ son el precio por la cantidad vendida: $$I(q) = p \times q = (50 - 2q)q = 50q - 2q^2$$ Por lo tanto, $$U(q) = (50q - 2q^2) - (100 + 10q) = 50q - 2q^2 - 100 - 10q = -2q^2 + 40q - 100$$ 3. **Maximizar la utilidad:** Para maximizar $U(q)$, derivamos respecto a $q$ y la igualamos a cero: $$U'(q) = \frac{d}{dq}(-2q^2 + 40q - 100) = -4q + 40$$ Igualamos a cero: $$-4q + 40 = 0$$ 4. **Resolver para $q$:** $$-4q + 40 = 0$$ $$-4q = -40$$ $$\cancel{-4}q = \cancel{-40}$$ $$q = 10$$ 5. **Verificar que es máximo:** La segunda derivada es: $$U''(q) = \frac{d}{dq}(-4q + 40) = -4$$ Como $U''(q) = -4 < 0$, la función tiene un máximo en $q=10$. 6. **Calcular la utilidad máxima:** Sustituimos $q=10$ en la función de utilidad: $$U(10) = -2(10)^2 + 40(10) - 100 = -2(100) + 400 - 100 = -200 + 400 - 100 = 100$$ **Respuesta final:** La utilidad máxima semanal que puede obtener la empresa es **100**.