1. Planteamos el problema: Tenemos dos puntos de demanda para la revista: - Precio $p=1$ dólar, cantidad $q=20000$ ejemplares. - Precio $p=1.5$ dólares, cantidad $q=15000$ ejemplares. 2. Suponemos una función de demanda lineal $p = a q + b$. Usamos los puntos para encontrar $a$ y $b$: $$\begin{cases} 1 = a \cdot 20000 + b \\ 1.5 = a \cdot 15000 + b \end{cases}$$ 3. Restamos las ecuaciones para eliminar $b$: $$1 - 1.5 = a(20000 - 15000) \Rightarrow -0.5 = 5000 a \Rightarrow a = \frac{-0.5}{5000} = -0.0001$$ 4. Sustituimos $a$ en la primera ecuación para hallar $b$: $$1 = -0.0001 \times 20000 + b \Rightarrow 1 = -2 + b \Rightarrow b = 3$$ 5. La función de demanda es: $$p = -0.0001 q + 3$$ 6. La función de ingresos $I(q)$ es precio por cantidad: $$I(q) = p \times q = (-0.0001 q + 3) q = -0.0001 q^2 + 3 q$$ 7. La función de costos $C(q)$ incluye costos variables y fijos: $$C(q) = 0.8 q + 10000$$ 8. La función de utilidad $U(q)$ es ingresos menos costos: $$U(q) = I(q) - C(q) = (-0.0001 q^2 + 3 q) - (0.8 q + 10000) = -0.0001 q^2 + 2.2 q - 10000$$ 9. La utilidad marginal es la derivada de $U(q)$ respecto a $q$: $$U'(q) = \frac{d}{dq} \left(-0.0001 q^2 + 2.2 q - 10000\right) = -0.0002 q + 2.2$$ 10. Para encontrar el precio que hace la utilidad marginal cero, igualamos $U'(q) = 0$: $$-0.0002 q + 2.2 = 0 \Rightarrow 0.0002 q = 2.2 \Rightarrow q = \frac{2.2}{0.0002} = 11000$$ 11. Calculamos el precio correspondiente usando la función de demanda: $$p = -0.0001 \times 11000 + 3 = -1.1 + 3 = 1.9$$ 12. Respuesta final: La función de utilidad marginal es $$U'(q) = -0.0002 q + 2.2$$ y el precio que hace la utilidad marginal igual a cero es $$p = 1.9$$ dólares.