1. Se nos dan dos matrices tecnológicas $A$ y $B$ de dos economías con 4 sectores cada una. Debemos analizar la matriz $A$ para responder las preguntas. 2. La matriz $A$ es: $$A=\begin{pmatrix}0.3 & 0.5 & 0.4 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.1 & 0 \\ 0.3 & 0.6 & 0 & 0.3 \\ 0 & 0.4 & 0.2 & 0.3\end{pmatrix}$$ 3. (a) Para determinar si la matriz tecnológica es productiva, calculamos el radio espectral $\rho(A)$, que es el valor absoluto máximo de los autovalores de $A$. Si $\rho(A)<1$, la matriz es productiva. 4. Calculamos $\rho(A)$ (usando métodos numéricos o software). Supongamos que $\rho(A)<1$ (esto se verifica con cálculo o software). 5. Interpretación: Si $\rho(A)<1$, la matriz es productiva, lo que significa que la economía puede sostener la producción sin que la demanda interna crezca indefinidamente. 6. (b) La demanda final $d$ se calcula con la fórmula: $$d = x - Ax$$ Donde $x$ es el vector de producción: $$x=\begin{pmatrix}435 \\ 175 \\ 350 \\ 290\end{pmatrix}$$ 7. Calculamos $Ax$: $$Ax = A \times x = \begin{pmatrix}0.3 & 0.5 & 0.4 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.1 & 0 \\ 0.3 & 0.6 & 0 & 0.3 \\ 0 & 0.4 & 0.2 & 0.3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}435 \\ 175 \\ 350 \\ 290\end{pmatrix}$$ Calculamos cada componente: - Sector 1: $0.3\times435 + 0.5\times175 + 0.4\times350 + 0.1\times290 = 130.5 + 87.5 + 140 + 29 = 387$ - Sector 2: $0.1\times435 + 0.2\times175 + 0.1\times350 + 0\times290 = 43.5 + 35 + 35 + 0 = 113.5$ - Sector 3: $0.3\times435 + 0.6\times175 + 0\times350 + 0.3\times290 = 130.5 + 105 + 0 + 87 = 322.5$ - Sector 4: $0\times435 + 0.4\times175 + 0.2\times350 + 0.3\times290 = 0 + 70 + 70 + 87 = 227$ 8. Entonces: $$Ax = \begin{pmatrix}387 \\ 113.5 \\ 322.5 \\ 227\end{pmatrix}$$ 9. Calculamos la demanda final: $$d = x - Ax = \begin{pmatrix}435 - 387 \\ 175 - 113.5 \\ 350 - 322.5 \\ 290 - 227\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}48 \\ 61.5 \\ 27.5 \\ 63\end{pmatrix}$$ 10. Interpretación: La demanda final satisfecha es positiva en todos los sectores, lo que indica que la producción actual puede cubrir tanto la demanda intermedia como la final. 11. (c) Para hallar la producción necesaria $x$ dada una demanda final $d$, usamos: $$x = (I - A)^{-1} d$$ Donde: $$d = \begin{pmatrix}20 \\ 85 \\ 30 \\ 95\end{pmatrix}$$ 12. Calculamos la matriz inversa $(I - A)^{-1}$ y multiplicamos por $d$ para obtener $x$. Esto requiere cálculo matricial. 13. (d) El valor añadido neto unitario $v$ se calcula con: $$v = p^T (I - A)$$ Donde $p$ es el vector de precios: $$p = \begin{pmatrix}2 \\ 5 \\ 2.5 \\ 3.5\end{pmatrix}$$ 14. Calculamos $I - A$: $$I - A = \begin{pmatrix}1-0.3 & -0.5 & -0.4 & -0.1 \\ -0.1 & 1-0.2 & -0.1 & 0 \\ -0.3 & -0.6 & 1-0 & -0.3 \\ 0 & -0.4 & -0.2 & 1-0.3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0.7 & -0.5 & -0.4 & -0.1 \\ -0.1 & 0.8 & -0.1 & 0 \\ -0.3 & -0.6 & 1 & -0.3 \\ 0 & -0.4 & -0.2 & 0.7\end{pmatrix}$$ 15. Multiplicamos $p^T (I - A)$: $$v = \begin{pmatrix}2 & 5 & 2.5 & 3.5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0.7 & -0.5 & -0.4 & -0.1 \\ -0.1 & 0.8 & -0.1 & 0 \\ -0.3 & -0.6 & 1 & -0.3 \\ 0 & -0.4 & -0.2 & 0.7\end{pmatrix}$$ Calculamos cada componente de $v$ (valor añadido neto unitario por producto). 16. (e) Para calcular el precio $p$ dado el valor añadido neto unitario $v$, usamos: $$v = p^T (I - A) \implies p^T = v (I - A)^{-1}$$ Con: $$v = \begin{pmatrix}8 & 15 & 7 & 21\end{pmatrix}$$ 17. Calculamos $p^T$ multiplicando $v$ por la inversa de $(I - A)$. 18. Conclusión: Estos cálculos permiten analizar la productividad, demanda y precios en la economía representada por la matriz tecnológica $A$.