1. **Enunciado do problema:** Dado o modelo económico: $$Y = C + I_0 + G_0$$ $$C = 1 + \frac{1}{3}(Y - T)$$ $$T = 1 + \frac{1}{5}Y$$ com variáveis exógenas $I_0$ (investimento) e $G_0$ (despesas governamentais), queremos usar o teorema da função implícita para determinar o efeito do investimento $I_0$ sobre o equilíbrio $Y^*$. 2. **Reescrever o sistema na forma $F_i(Y,C,T,I_0,G_0) = 0$:** \begin{align*} F_1(Y,C,T,I_0,G_0) &= Y - C - I_0 - G_0 = 0 \\ F_2(Y,C,T,I_0,G_0) &= C - 1 - \frac{1}{3}(Y - T) = 0 \\ F_3(Y,C,T,I_0,G_0) &= T - 1 - \frac{1}{5}Y = 0 \end{align*} 3. **Calcular o Jacobiano $J$ das funções $F_1, F_2, F_3$ em relação às variáveis $Y, C, T$:** \[ J = \begin{bmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial Y} & \frac{\partial F_1}{\partial C} & \frac{\partial F_1}{\partial T} \\ \frac{\partial F_2}{\partial Y} & \frac{\partial F_2}{\partial C} & \frac{\partial F_2}{\partial T} \\ \frac{\partial F_3}{\partial Y} & \frac{\partial F_3}{\partial C} & \frac{\partial F_3}{\partial T} \end{bmatrix} \] Calculando cada derivada: - $\frac{\partial F_1}{\partial Y} = 1$ - $\frac{\partial F_1}{\partial C} = -1$ - $\frac{\partial F_1}{\partial T} = 0$ - $\frac{\partial F_2}{\partial Y} = -\frac{1}{3}$ - $\frac{\partial F_2}{\partial C} = 1$ - $\frac{\partial F_2}{\partial T} = \frac{1}{3}$ - $\frac{\partial F_3}{\partial Y} = -\frac{1}{5}$ - $\frac{\partial F_3}{\partial C} = 0$ - $\frac{\partial F_3}{\partial T} = 1$ Logo, $$ J = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -\frac{1}{3} & 1 & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{5} & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ 4. **Calcular o determinante do Jacobiano $|J|$:** $$ |J| = 1 \cdot \begin{vmatrix}1 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1\end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix}-\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{5} & 1\end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix}-\frac{1}{3} & 1 \\ -\frac{1}{5} & 0\end{vmatrix} $$ Calculando os menores: $$ \begin{vmatrix}1 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1\end{vmatrix} = 1 \times 1 - 0 \times \frac{1}{3} = 1 $$ $$ \begin{vmatrix}-\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{5} & 1\end{vmatrix} = -\frac{1}{3} \times 1 - (-\frac{1}{5}) \times \frac{1}{3} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{15} = -\frac{5}{15} + \frac{1}{15} = -\frac{4}{15} $$ Portanto, $$ |J| = 1 \times 1 - (-1) \times \left(-\frac{4}{15}\right) + 0 = 1 - \frac{4}{15} = \frac{15}{15} - \frac{4}{15} = \frac{11}{15} $$ 5. **Conclusão:** O determinante Jacobiano é $\frac{11}{15} \neq 0$, o que permite aplicar o teorema da função implícita para estudar o efeito de $I_0$ sobre $Y^*$. --- **Resposta final:** $$ F_1 = Y - C - I_0 - G_0 = 0 $$ $$ F_2 = C - 1 - \frac{1}{3}(Y - T) = 0 $$ $$ F_3 = T - 1 - \frac{1}{5}Y = 0 $$ $$ J = \begin{bmatrix}1 & -1 & 0 \\ -\frac{1}{3} & 1 & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{5} & 0 & 1\end{bmatrix}, \quad |J| = \frac{11}{15} $$