1. Diketahui fungsi permintaan produk X dan Y adalah $$P_x = 36 - 3Q_x$$ dan $$P_y = 40 - 5Q_y$$ serta fungsi biaya bersama $$TC = Q_x^2 + 2Q_xQ_y + 3Q_y^2$$. 2. Tujuan: Tentukan jumlah dan harga produk yang memaksimumkan keuntungan, serta hitung keuntungan maksimum. 3. Rumus keuntungan $$\pi = TR - TC$$, dengan total revenue $$TR = P_x Q_x + P_y Q_y$$. 4. Hitung total revenue: $$TR = (36 - 3Q_x)Q_x + (40 - 5Q_y)Q_y = 36Q_x - 3Q_x^2 + 40Q_y - 5Q_y^2$$ 5. Fungsi keuntungan: $$\pi = TR - TC = (36Q_x - 3Q_x^2 + 40Q_y - 5Q_y^2) - (Q_x^2 + 2Q_xQ_y + 3Q_y^2)$$ 6. Sederhanakan fungsi keuntungan: $$\pi = 36Q_x - 3Q_x^2 + 40Q_y - 5Q_y^2 - Q_x^2 - 2Q_xQ_y - 3Q_y^2 = 36Q_x - 4Q_x^2 + 40Q_y - 8Q_y^2 - 2Q_xQ_y$$ 7. Untuk maksimum keuntungan, turunkan $$\pi$$ terhadap $$Q_x$$ dan $$Q_y$$ dan set sama dengan nol: $$\frac{\partial \pi}{\partial Q_x} = 36 - 8Q_x - 2Q_y = 0$$ $$\frac{\partial \pi}{\partial Q_y} = 40 - 16Q_y - 2Q_x = 0$$ 8. Sistem persamaan: $$36 - 8Q_x - 2Q_y = 0$$ $$40 - 16Q_y - 2Q_x = 0$$ 9. Dari persamaan pertama: $$8Q_x + 2Q_y = 36 \Rightarrow 4Q_x + Q_y = 18$$ 10. Dari persamaan kedua: $$2Q_x + 16Q_y = 40 \Rightarrow Q_x + 8Q_y = 20$$ 11. Substitusi dari persamaan 9 ke 10: Dari 9: $$Q_y = 18 - 4Q_x$$ Substitusi ke 10: $$Q_x + 8(18 - 4Q_x) = 20$$ $$Q_x + 144 - 32Q_x = 20$$ $$-31Q_x = 20 - 144 = -124$$ $$Q_x = \frac{124}{31} = 4$$ 12. Hitung $$Q_y$$: $$Q_y = 18 - 4(4) = 18 - 16 = 2$$ 13. Hitung harga produk: $$P_x = 36 - 3Q_x = 36 - 3(4) = 24$$ $$P_y = 40 - 5Q_y = 40 - 5(2) = 30$$ 14. Hitung keuntungan maksimum: $$TR = 24 \times 4 + 30 \times 2 = 96 + 60 = 156$$ $$TC = 4^2 + 2 \times 4 \times 2 + 3 \times 2^2 = 16 + 16 + 12 = 44$$ $$\pi = TR - TC = 156 - 44 = 112$$ Jadi, jumlah produk yang memaksimumkan keuntungan adalah $$Q_x = 4$$ dan $$Q_y = 2$$ dengan harga $$P_x = 24$$ dan $$P_y = 30$$, serta keuntungan maksimum adalah 112.