1. Planteamos el problema: Resolver la ecuación diferencial lineal de tercer orden con coeficientes constantes $$y''' - 2y'' - y' + 2y = 4e^{3x} + 6x$$ usando el método de variación de parámetros. 2. Primero, resolvemos la ecuación homogénea asociada: $$y''' - 2y'' - y' + 2y = 0$$ La ecuación característica es: $$r^3 - 2r^2 - r + 2 = 0$$ 3. Factorizamos el polinomio característico. Probamos raíces racionales posibles: $\pm1, \pm2$. Probamos $r=1$: $$1 - 2 - 1 + 2 = 0$$ Entonces, $r=1$ es raíz. 4. Dividimos el polinomio por $(r-1)$: $$r^3 - 2r^2 - r + 2 = (r-1)(r^2 - r - 2)$$ 5. Factorizamos el cuadrático: $$r^2 - r - 2 = (r-2)(r+1)$$ 6. Las raíces son: $$r_1 = 1, \quad r_2 = 2, \quad r_3 = -1$$ 7. La solución general homogénea es: $$y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} + C_3 e^{-x}$$ 8. Para el método de variación de parámetros, definimos: $$y = u_1(x)e^{x} + u_2(x)e^{2x} + u_3(x)e^{-x}$$ 9. Calculamos las derivadas necesarias y planteamos el sistema para $u_1', u_2', u_3'$ usando la matriz de Wronskiana y la función del lado derecho $g(x) = 4e^{3x} + 6x$. 10. La matriz fundamental es: $$Y = \begin{pmatrix} e^{x} & e^{2x} & e^{-x} \\ e^{x} & 2e^{2x} & -e^{-x} \\ e^{x} & 4e^{2x} & e^{-x} \end{pmatrix}$$ 11. Calculamos el Wronskiano $W$: $$W = \det(Y) = 5 e^{2x}$$ 12. Calculamos los determinantes para $u_1', u_2', u_3'$ sustituyendo la columna correspondiente por $[0,0,g(x)]^T$ y dividimos por $W$. 13. Obtenemos: $$u_1' = \frac{6x e^{-x}}{5} + \frac{4}{5} e^{2x}$$ $$u_2' = -\frac{6x e^{-2x}}{5} - \frac{4}{5} e^{x}$$ $$u_3' = 0$$ 14. Integramos para hallar $u_1, u_2, u_3$: $$u_1 = \int \left( \frac{6x e^{-x}}{5} + \frac{4}{5} e^{2x} \right) dx$$ $$u_2 = \int \left( -\frac{6x e^{-2x}}{5} - \frac{4}{5} e^{x} \right) dx$$ $$u_3 = C$$ 15. Calculamos $u_1$: $$\int 6x e^{-x} dx = -6x e^{-x} - 6 e^{-x} + C$$ Entonces: $$u_1 = \frac{1}{5}(-6x e^{-x} - 6 e^{-x}) + \frac{4}{5} \int e^{2x} dx = \frac{-6x e^{-x} - 6 e^{-x}}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{e^{2x}}{2} + C = \frac{-6x e^{-x} - 6 e^{-x}}{5} + \frac{2}{5} e^{2x} + C$$ 16. Calculamos $u_2$: $$\int -6x e^{-2x} dx = 3x e^{-2x} + \frac{3}{2} e^{-2x} + C$$ Entonces: $$u_2 = \frac{1}{5}(3x e^{-2x} + \frac{3}{2} e^{-2x}) - \frac{4}{5} \int e^{x} dx = \frac{3x e^{-2x}}{5} + \frac{3 e^{-2x}}{10} - \frac{4}{5} e^{x} + C$$ 17. La solución particular es: $$y_p = u_1 e^{x} + u_2 e^{2x} + u_3 e^{-x}$$ Sustituyendo: $$y_p = \left( \frac{-6x e^{-x} - 6 e^{-x}}{5} + \frac{2}{5} e^{2x} \right) e^{x} + \left( \frac{3x e^{-2x}}{5} + \frac{3 e^{-2x}}{10} - \frac{4}{5} e^{x} \right) e^{2x} + C e^{-x}$$ 18. Simplificamos: $$y_p = \frac{-6x - 6}{5} + \frac{2}{5} e^{3x} + \frac{3x}{5} + \frac{3}{10} - \frac{4}{5} e^{3x} + C e^{-x}$$ $$y_p = \left( \frac{-6x - 6}{5} + \frac{3x}{5} + \frac{3}{10} \right) + \left( \frac{2}{5} - \frac{4}{5} \right) e^{3x} + C e^{-x}$$ $$y_p = \left( \frac{-3x - 6}{5} + \frac{3}{10} \right) - \frac{2}{5} e^{3x} + C e^{-x}$$ 19. Finalmente, la solución general es: $$y = y_h + y_p = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} + C_3 e^{-x} + y_p$$ 20. Se puede ajustar la constante $C$ en $u_3$ para simplificar, por lo que la parte con $C e^{-x}$ se absorbe en la solución homogénea. Respuesta final: $$y = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} + C_3 e^{-x} - \frac{3x}{5} - \frac{9}{10} - \frac{2}{5} e^{3x}$$