1. Planteamos el primer problema: $$x^2 \frac{dy}{dx} = (2 + x)x^2 y + x^3 y^2$$. 2. Simplificamos dividiendo ambos lados por $x^2$ (asumiendo $x \neq 0$): $$\frac{dy}{dx} = (2 + x) y + x y^2$$ 3. Observamos que la ecuación es de la forma $$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$$ y parece ser una ecuación diferencial no lineal. 4. Intentamos reescribir para identificar si es separable o si se puede usar un cambio de variable: $$\frac{dy}{dx} = y(2 + x) + x y^2$$ 5. Factorizamos $y$: $$\frac{dy}{dx} = y(2 + x + x y)$$ 6. No es separable directamente, pero podemos intentar el cambio $v = \frac{1}{y}$, entonces $y = \frac{1}{v}$ y $$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dx}$$ 7. Sustituimos en la ecuación original: $$-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} (2 + x + \frac{x}{v})$$ 8. Multiplicamos ambos lados por $v^2$: $$-\frac{dv}{dx} = v (2 + x) + x$$ 9. Reordenamos: $$\frac{dv}{dx} + v (2 + x) = -x$$ 10. Esta es una ecuación diferencial lineal en $v$ con la forma: $$\frac{dv}{dx} + P(x) v = Q(x)$$ donde $P(x) = 2 + x$ y $Q(x) = -x$. 11. Calculamos el factor integrante: $$\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (2 + x) dx} = e^{2x + \frac{x^2}{2}}$$ 12. Multiplicamos toda la ecuación por $\mu(x)$: $$e^{2x + \frac{x^2}{2}} \frac{dv}{dx} + e^{2x + \frac{x^2}{2}} (2 + x) v = -x e^{2x + \frac{x^2}{2}}$$ 13. El lado izquierdo es la derivada del producto: $$\frac{d}{dx} \left(v e^{2x + \frac{x^2}{2}}\right) = -x e^{2x + \frac{x^2}{2}}$$ 14. Integramos ambos lados: $$v e^{2x + \frac{x^2}{2}} = \int -x e^{2x + \frac{x^2}{2}} dx + C$$ 15. La integral es compleja, pero podemos dejar la solución implícita: $$v = e^{-2x - \frac{x^2}{2}} \left(C - \int x e^{2x + \frac{x^2}{2}} dx \right)$$ 16. Recordando que $v = \frac{1}{y}$, la solución general es: $$\frac{1}{y} = e^{-2x - \frac{x^2}{2}} \left(C - \int x e^{2x + \frac{x^2}{2}} dx \right)$$ 17. Por lo tanto, $$y = \frac{1}{e^{-2x - \frac{x^2}{2}} \left(C - \int x e^{2x + \frac{x^2}{2}} dx \right)} = \frac{e^{2x + \frac{x^2}{2}}}{C - \int x e^{2x + \frac{x^2}{2}} dx}$$ Esta es la solución implícita del problema 1.a.