1. Planteamos el problema: Resolver la ecuación diferencial $$y''' - 2y'' - y' + 2y = 4e^{3x} + 6x$$ usando el método de coeficientes indeterminados y variación de parámetros. 2. Primero, encontramos la solución general de la homogénea asociada: $$y''' - 2y'' - y' + 2y = 0$$ La ecuación característica es: $$r^3 - 2r^2 - r + 2 = 0$$ Probamos raíces racionales: $r=1$ es raíz porque $1 - 2 - 1 + 2 = 0$. 3. Factorizamos: $$r^3 - 2r^2 - r + 2 = (r - 1)(r^2 - r - 2)$$ El trinomio cuadrático se factoriza: $$r^2 - r - 2 = (r - 2)(r + 1)$$ Por lo tanto, las raíces son: $$r = 1, 2, -1$$ 4. La solución general homogénea es: $$y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} + C_3 e^{-x}$$ 5. Para el término no homogéneo, separamos: $$g(x) = 4e^{3x} + 6x$$ 6. Método de coeficientes indeterminados para $4e^{3x}$: Proponemos: $$y_p^{(1)} = A e^{3x}$$ Derivamos: $$y_p^{(1)'} = 3A e^{3x}, \quad y_p^{(1)''} = 9A e^{3x}, \quad y_p^{(1)'''} = 27A e^{3x}$$ Sustituimos en la ecuación: $$27A e^{3x} - 2(9A e^{3x}) - 3A e^{3x} + 2A e^{3x} = 4 e^{3x}$$ Simplificamos: $$27A - 18A - 3A + 2A = 4$$ $$8A = 4$$ $$A = \frac{1}{2}$$ 7. Método de variación de parámetros para $6x$: Primero, definimos las funciones base: $$y_1 = e^{x}, y_2 = e^{2x}, y_3 = e^{-x}$$ Calculamos la matriz Wronskiana $W$: $$W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 & y_3 \\ y_1' & y_2' & y_3' \\ y_1'' & y_2'' & y_3'' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^{x} & e^{2x} & e^{-x} \\ e^{x} & 2e^{2x} & -e^{-x} \\ e^{x} & 4e^{2x} & e^{-x} \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante: $$W = e^{x} \begin{vmatrix} 2e^{2x} & -e^{-x} \\ 4e^{2x} & e^{-x} \end{vmatrix} - e^{2x} \begin{vmatrix} e^{x} & -e^{-x} \\ e^{x} & e^{-x} \end{vmatrix} + e^{-x} \begin{vmatrix} e^{x} & 2e^{2x} \\ e^{x} & 4e^{2x} \end{vmatrix}$$ Calculamos cada menor: $$= e^{x} (2e^{2x} \cdot e^{-x} - (-e^{-x}) \cdot 4e^{2x}) - e^{2x} (e^{x} \cdot e^{-x} - (-e^{-x}) \cdot e^{x}) + e^{-x} (e^{x} \cdot 4e^{2x} - 2e^{2x} \cdot e^{x})$$ Simplificamos: $$= e^{x} (2e^{x} + 4e^{x}) - e^{2x} (1 + 1) + e^{-x} (4e^{3x} - 2e^{3x})$$ $$= e^{x} (6e^{x}) - e^{2x} (2) + e^{-x} (2e^{3x})$$ $$= 6e^{2x} - 2e^{2x} + 2e^{2x} = 6e^{2x}$$ 8. Calculamos $g(x)/W$: $$\frac{6x}{6e^{2x}} = x e^{-2x}$$ 9. Las funciones para variación de parámetros son: $$u_1' = -y_2 y_3 g(x)/W = -e^{2x} e^{-x} x e^{-2x} = -x e^{-x}$$ $$u_2' = y_1 y_3 g(x)/W = e^{x} e^{-x} x e^{-2x} = x e^{-2x}$$ $$u_3' = -y_1 y_2 g(x)/W = -e^{x} e^{2x} x e^{-2x} = -x e^{x}$$ 10. Integramos para obtener $u_1, u_2, u_3$: $$u_1 = -\int x e^{-x} dx = -(-x e^{-x} - e^{-x}) = x e^{-x} + e^{-x}$$ $$u_2 = \int x e^{-2x} dx = -\frac{1}{2} x e^{-2x} - \frac{1}{4} e^{-2x}$$ $$u_3 = -\int x e^{x} dx = - (x e^{x} - e^{x}) = -x e^{x} + e^{x}$$ 11. La solución particular es: $$y_p^{(2)} = u_1 y_1 + u_2 y_2 + u_3 y_3$$ Sustituimos: $$= (x e^{-x} + e^{-x}) e^{x} + \left(-\frac{1}{2} x e^{-2x} - \frac{1}{4} e^{-2x}\right) e^{2x} + (-x e^{x} + e^{x}) e^{-x}$$ Simplificamos: $$= (x + 1) + \left(-\frac{1}{2} x - \frac{1}{4}\right) + (-x + 1)$$ $$= x + 1 - \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} - x + 1 = \left(x - \frac{1}{2} x - x\right) + (1 - \frac{1}{4} + 1) = -\frac{1}{2} x + \frac{7}{4}$$ 12. La solución general completa es: $$y = y_h + y_p^{(1)} + y_p^{(2)} = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} + C_3 e^{-x} + \frac{1}{2} e^{3x} - \frac{1}{2} x + \frac{7}{4}$$