1. Planteamos el problema: Resolver la ecuación diferencial $$4x^2 y'' + 4x^3 y' + (1 + x^2)^2 y = 0$$. 2. Observamos que la ecuación es de segundo orden y con coeficientes variables. Intentaremos simplificar o buscar una forma reconocible. 3. Dividimos toda la ecuación entre $$4x^2$$ para simplificar: $$y'' + x y' + \frac{(1 + x^2)^2}{4x^2} y = 0$$ 4. Expandimos el numerador: $$(1 + x^2)^2 = 1 + 2x^2 + x^4$$ 5. Por lo tanto, $$\frac{(1 + x^2)^2}{4x^2} = \frac{1 + 2x^2 + x^4}{4x^2} = \frac{1}{4x^2} + \frac{2x^2}{4x^2} + \frac{x^4}{4x^2} = \frac{1}{4x^2} + \frac{1}{2} + \frac{x^2}{4}$$ 6. La ecuación queda: $$y'' + x y' + \left(\frac{1}{4x^2} + \frac{1}{2} + \frac{x^2}{4}\right) y = 0$$ 7. Intentamos una solución del tipo $$y = x^m e^{-\frac{x^2}{4}}$$ para simplificar términos, ya que el término $$\frac{x^2}{4}$$ sugiere un factor exponencial. 8. Calculamos las derivadas: $$y = x^m e^{-\frac{x^2}{4}}$$ $$y' = m x^{m-1} e^{-\frac{x^2}{4}} - \frac{x^{m+1}}{2} e^{-\frac{x^2}{4}}$$ $$y'' = m(m-1) x^{m-2} e^{-\frac{x^2}{4}} - m x^m e^{-\frac{x^2}{4}} - \frac{1}{2} \left[(m+1) x^m e^{-\frac{x^2}{4}} - \frac{x^{m+2}}{2} e^{-\frac{x^2}{4}}\right]$$ 9. Sustituimos en la ecuación y simplificamos, agrupando términos en potencias de $$x$$ y exponenciales. 10. Al hacer esto, encontramos que para que la ecuación se satisfaga, $$m$$ debe cumplir: $$m(m-1) + \frac{1}{4} = 0$$ 11. Resolviendo la ecuación cuadrática: $$m^2 - m + \frac{1}{4} = 0$$ $$\Rightarrow m = \frac{1 \pm 0}{2} = \frac{1}{2}$$ 12. Por lo tanto, $$m = \frac{1}{2}$$ es la única solución. 13. La solución general es: $$y = C_1 x^{\frac{1}{2}} e^{-\frac{x^2}{4}} + C_2 y_2(x)$$ donde $$y_2(x)$$ es una segunda solución linealmente independiente que puede obtenerse por el método de reducción de orden. 14. Para encontrar $$y_2$$, usamos: $$y_2 = y_1(x) \int \frac{e^{-\int P(x) dx}}{y_1(x)^2} dx$$ donde $$P(x) = x$$. 15. Calculamos: $$\int P(x) dx = \int x dx = \frac{x^2}{2}$$ 16. Entonces, $$y_2 = x^{\frac{1}{2}} e^{-\frac{x^2}{4}} \int \frac{e^{-\frac{x^2}{2}}}{x e^{-\frac{x^2}{2}}} dx = x^{\frac{1}{2}} e^{-\frac{x^2}{4}} \int \frac{1}{x} dx = x^{\frac{1}{2}} e^{-\frac{x^2}{4}} \ln|x| + C$$ 17. Finalmente, la solución general completa es: $$y = C_1 x^{\frac{1}{2}} e^{-\frac{x^2}{4}} + C_2 x^{\frac{1}{2}} e^{-\frac{x^2}{4}} \ln|x|$$ Esta es la solución general de la ecuación diferencial dada.