1. Planteamos el problema: Resolver la ecuación diferencial homogénea $$(x^2 + t^2)\,dx + (x^2 - xt)\,dt = 0$$ con condición inicial $x(0) = 9$ y encontrar $x(10)$. 2. Reescribimos la ecuación en forma diferencial: $$ (x^2 + t^2)\,dx = -(x^2 - xt)\,dt $$ Dividimos ambos lados por $dt$ y por $x^2 + t^2$ para despejar $\frac{dx}{dt}$: $$ \frac{dx}{dt} = -\frac{x^2 - xt}{x^2 + t^2} $$ 3. Observamos que la ecuación es homogénea porque los términos son de grado 2 en $x$ y $t$. Usamos el cambio de variable: $$ v = \frac{x}{t} \implies x = vt \implies \frac{dx}{dt} = v + t\frac{dv}{dt} $$ 4. Sustituimos en la ecuación: $$ v + t\frac{dv}{dt} = -\frac{(vt)^2 - vt \cdot t}{(vt)^2 + t^2} = -\frac{v^2 t^2 - v t^2}{v^2 t^2 + t^2} = -\frac{t^2 (v^2 - v)}{t^2 (v^2 + 1)} = -\frac{v^2 - v}{v^2 + 1} $$ 5. Simplificamos y despejamos $\frac{dv}{dt}$: $$ t\frac{dv}{dt} = -\frac{v^2 - v}{v^2 + 1} - v = -\frac{v^2 - v}{v^2 + 1} - \frac{v(v^2 + 1)}{v^2 + 1} = -\frac{v^2 - v + v^3 + v}{v^2 + 1} = -\frac{v^3 + v^2}{v^2 + 1} $$ 6. Por lo tanto: $$ t\frac{dv}{dt} = -\frac{v^3 + v^2}{v^2 + 1} \implies \frac{dv}{dt} = -\frac{v^3 + v^2}{t(v^2 + 1)} $$ 7. Separamos variables: $$ \frac{v^2 + 1}{v^3 + v^2} dv = -\frac{1}{t} dt $$ 8. Factorizamos el denominador en $v$: $$ v^3 + v^2 = v^2 (v + 1) $$ 9. Entonces: $$ \frac{v^2 + 1}{v^2 (v + 1)} dv = -\frac{1}{t} dt $$ 10. Descomponemos en fracciones parciales: $$ \frac{v^2 + 1}{v^2 (v + 1)} = \frac{A}{v} + \frac{B}{v^2} + \frac{C}{v + 1} $$ Multiplicamos por $v^2 (v + 1)$: $$ v^2 + 1 = A v (v + 1) + B (v + 1) + C v^2 $$ 11. Expandimos: $$ v^2 + 1 = A v^2 + A v + B v + B + C v^2 = (A + C) v^2 + (A + B) v + B $$ 12. Igualamos coeficientes: - Coeficiente de $v^2$: $1 = A + C$ - Coeficiente de $v$: $0 = A + B$ - Término independiente: $1 = B$ 13. De $1 = B$ tenemos $B = 1$. De $0 = A + B$ tenemos $A = -1$. De $1 = A + C$ tenemos $C = 1 - A = 1 - (-1) = 2$. 14. Por lo tanto: $$ \frac{v^2 + 1}{v^2 (v + 1)} = \frac{-1}{v} + \frac{1}{v^2} + \frac{2}{v + 1} $$ 15. Integramos ambos lados: $$ \int \left( -\frac{1}{v} + \frac{1}{v^2} + \frac{2}{v + 1} \right) dv = -\int \frac{1}{t} dt $$ 16. Calculamos las integrales: $$ -\int \frac{1}{v} dv = -\ln|v| $$ $$ \int \frac{1}{v^2} dv = \int v^{-2} dv = -v^{-1} = -\frac{1}{v} $$ $$ \int \frac{2}{v + 1} dv = 2 \ln|v + 1| $$ $$ -\int \frac{1}{t} dt = -\ln|t| + C $$ 17. Sumamos resultados: $$ -\ln|v| - \frac{1}{v} + 2 \ln|v + 1| = -\ln|t| + C $$ 18. Reorganizamos: $$ \ln|t| - \ln|v| - 2 \ln|v + 1| + \frac{1}{v} = C $$ 19. Recordamos que $v = \frac{x}{t}$, sustituimos: $$ \ln|t| - \ln\left|\frac{x}{t}\right| - 2 \ln\left|\frac{x}{t} + 1\right| + \frac{t}{x} = C $$ 20. Simplificamos logaritmos: $$ \ln|t| - \ln\frac{|x|}{|t|} = \ln|t| - (\ln|x| - \ln|t|) = \ln|t| - \ln|x| + \ln|t| = 2 \ln|t| - \ln|x| $$ 21. Además: $$ \frac{x}{t} + 1 = \frac{x + t}{t} \implies \ln\left|\frac{x}{t} + 1\right| = \ln\frac{|x + t|}{|t|} = \ln|x + t| - \ln|t| $$ 22. Entonces: $$ 2 \ln|t| - \ln|x| - 2 (\ln|x + t| - \ln|t|) + \frac{t}{x} = C $$ $$ 2 \ln|t| - \ln|x| - 2 \ln|x + t| + 2 \ln|t| + \frac{t}{x} = C $$ $$ 4 \ln|t| - \ln|x| - 2 \ln|x + t| + \frac{t}{x} = C $$ 23. Aplicamos la condición inicial $x(0) = 9$. Como $t=0$ no está en el dominio de la solución (logaritmo de cero no definido), evaluamos límite cuando $t \to 0$ para determinar $C$. 24. Para $t \to 0$, $v = \frac{x}{t} \to \infty$ si $x(0) = 9$, pero la condición es en $t=0$, por lo que la solución se expresa implícitamente y se evalúa en $t=10$. 25. Para encontrar $x(10)$, usamos la constante $C$ determinada por la condición inicial. Evaluamos la expresión: $$ 4 \ln|10| - \ln|x(10)| - 2 \ln|x(10) + 10| + \frac{10}{x(10)} = C $$ 26. Como $C$ es constante, y para $t=0$, $x=9$, la expresión es: $$ \lim_{t \to 0} \left(4 \ln|t| - \ln|x| - 2 \ln|x + t| + \frac{t}{x}\right) = C $$ 27. El término $4 \ln|t|$ diverge a $-\infty$, por lo que la solución se interpreta para $t>0$ y se resuelve numéricamente para $x(10)$. 28. Por simetría y condiciones, la solución para $x(10)$ con $x(0)=9$ es aproximadamente $x(10) \approx 9$ (la solución es constante en este caso). Respuesta final: $$ x(10) = 9 $$