Question: Ecuaciones diferenciales: Un estudiante resolvió la ecuación $$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2}{y}$$
Separando variables de la siguiente manera
$$\frac{dy}{y}=x^2 \, dx$$
Después obtuvo
$$\ln |y| = \frac{x^3}{3} + C$$
a) Identifique el primer error del procedimiento.
b) Corrija el desarrollo.
c) Explique por qué ese error cambia completamente la solución.
1. **Planteamiento del problema:** Tenemos la ecuación diferencial $$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y}$$ y se intenta resolver separando variables.
2. **Identificación del error:** El estudiante separó las variables como $$\frac{dy}{y} = x^2 \, dx$$. Este es el primer error porque la ecuación original es $$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y}$$, lo que implica que $$y \, dy = x^2 \, dx$$, no $$\frac{dy}{y} = x^2 \, dx$$.
3. **Corrección del desarrollo:**
- Partimos de $$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y}$$.
- Multiplicamos ambos lados por $$y$$ y $$dx$$ para separar variables correctamente:
$$y \, dy = x^2 \, dx$$
- Integramos ambos lados:
$$\int y \, dy = \int x^2 \, dx$$
- Calculamos las integrales:
$$\frac{y^2}{2} = \frac{x^3}{3} + C$$
- Multiplicamos ambos lados por 2 para despejar:
$$\cancel{2} \cdot \frac{y^2}{\cancel{2}} = \cancel{2} \cdot \left( \frac{x^3}{3} + C \right)$$
$$y^2 = \frac{2x^3}{3} + C'$$ donde $$C' = 2C$$ es una constante arbitraria.
4. **Explicación del impacto del error:**
- El error de separar como $$\frac{dy}{y} = x^2 \, dx$$ lleva a la solución $$\ln |y| = \frac{x^3}{3} + C$$.
- Esta solución implica que $$y = \pm e^{\frac{x^3}{3} + C} = C_1 e^{\frac{x^3}{3}}$$, que no satisface la ecuación original porque no respeta la relación cuadrática entre $$y$$ y $$x$$.
- La solución correcta es una relación cuadrática $$y^2 = \frac{2x^3}{3} + C'$$, que refleja la dependencia correcta entre $$y$$ y $$x$$.
- Por lo tanto, el error cambia completamente la forma de la solución y su comportamiento, invalidando la respuesta obtenida.
**Respuesta final:**
$$y^2 = \frac{2x^3}{3} + C'$$