1. Planteamos el problema: Encontrar la solución general de la ecuación diferencial $y'' + y = \tan x$ en el intervalo $0 < x < \frac{\pi}{2}$. 2. La ecuación es una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. La forma general es $y'' + y = f(x)$. 3. Primero, resolvemos la ecuación homogénea asociada: $$y'' + y = 0$$ La ecuación característica es: $$r^2 + 1 = 0 \implies r = \pm i$$ Por lo tanto, la solución homogénea es: $$y_h = C_1 \cos x + C_2 \sin x$$ 4. Para encontrar una solución particular $y_p$, usamos el método de variación de parámetros. Sea $y_1 = \cos x$ y $y_2 = \sin x$. Calculamos: $$W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x \\ -\sin x & \cos x \end{vmatrix} = \cos^2 x + \sin^2 x = 1$$ 5. Las fórmulas para $u_1'$ y $u_2'$ son: $$u_1' = -\frac{y_2 f(x)}{W} = -\sin x \tan x = -\sin x \frac{\sin x}{\cos x} = -\frac{\sin^2 x}{\cos x}$$ $$u_2' = \frac{y_1 f(x)}{W} = \cos x \tan x = \cos x \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x$$ 6. Integramos para obtener $u_1$ y $u_2$: $$u_1 = -\int \frac{\sin^2 x}{\cos x} dx$$ Usamos la identidad $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $$u_1 = -\int \frac{1 - \cos^2 x}{\cos x} dx = -\int \left( \frac{1}{\cos x} - \cos x \right) dx = -\int \sec x dx + \int \cos x dx$$ Sabemos que: $$\int \sec x dx = \ln |\sec x + \tan x| + C$$ Por lo tanto: $$u_1 = -\ln |\sec x + \tan x| + \sin x + C$$ 7. Para $u_2$: $$u_2 = \int \sin x dx = -\cos x + C$$ 8. La solución particular es: $$y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2 = \left(-\ln |\sec x + \tan x| + \sin x \right) \cos x + (-\cos x) \sin x$$ Simplificamos: $$y_p = -\cos x \ln |\sec x + \tan x| + \sin x \cos x - \sin x \cos x = -\cos x \ln |\sec x + \tan x|$$ 9. Finalmente, la solución general es: $$\boxed{y = C_1 \cos x + C_2 \sin x - \cos x \ln |\sec x + \tan x|}$$ Esta solución es válida en el intervalo $0 < x < \frac{\pi}{2}$ donde $\tan x$ y $\sec x$ están definidos.