Question: Un estudiante desea verificar si la ecuación:
$$(2xy+y^2)dx+(x^2+2xy)dy=0$$
es exacta. ¿Cuál es el primer procedimiento correcto?
a) Integrar ambos términos respecto a $x$.
b) Compara $\partial M/\partial x$ y $\partial N/\partial y$
c) Compara $\partial M/\partial y$ y $\partial N/\partial x$
d) Resolverla por separación de variables
Explique su respuesta.
1. **Planteamiento del problema:**
Queremos verificar si la ecuación diferencial $$ (2xy + y^2)dx + (x^2 + 2xy)dy = 0 $$ es exacta.
2. **Definición de exactitud:**
Una ecuación diferencial de la forma $$ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 $$ es exacta si y solo si $$ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $$.
3. **Identificación de $M$ y $N$:**
- $$ M(x,y) = 2xy + y^2 $$
- $$ N(x,y) = x^2 + 2xy $$
4. **Cálculo de las derivadas parciales:**
- $$ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy + y^2) = 2x + 2y $$
- $$ \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + 2xy) = 2x + 2y $$
5. **Comparación:**
Como $$ \frac{\partial M}{\partial y} = 2x + 2y $$ y $$ \frac{\partial N}{\partial x} = 2x + 2y $$, se cumple que $$ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $$.
6. **Conclusión:**
El primer procedimiento correcto para verificar si la ecuación es exacta es comparar $$ \frac{\partial M}{\partial y} $$ y $$ \frac{\partial N}{\partial x} $$, es decir, la opción **c)**.
Esto se debe a que la condición de exactitud requiere esta comparación específica.
**Respuesta final:** La opción correcta es **c) Compara $\partial M/\partial y$ y $\partial N/\partial x$**.