Ecuacion Exacta D33Dec

1. **Planteamiento del problema:** Se nos da la ecuación diferencial $$ (x+y)dx + (x-y)dy = 0 $$ y se verifica la condición de exactitud con $$ \frac{\partial M}{\partial y} = 1 $$ y $$ \frac{\partial N}{\partial x} = 1 $$. Debemos determinar cuál conclusión es correcta entre las opciones dadas. 2. **Definición y condición de exactitud:** Para una ecuación diferencial de la forma $$ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 $$, la ecuación es exacta si y solo si $$ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $$ 3. **Identificación de funciones:** Aquí, $$ M = x + y $$ y $$ N = x - y $$. 4. **Cálculo de derivadas parciales:** $$ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x + y) = 1 $$ $$ \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x - y) = 1 $$ 5. **Verificación de la condición de exactitud:** Como $$ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} = 1 $$, la ecuación es exacta. 6. **Conclusión:** La opción correcta es la c) La ecuación es exacta. **Explicación:** La condición para que una ecuación diferencial sea exacta es que las derivadas parciales cruzadas de $$M$$ y $$N$$ sean iguales. Aquí, ambas son iguales a 1, por lo que la ecuación cumple esta condición y es exacta. Esto significa que existe una función potencial $$ \Psi(x,y) $$ tal que $$ d\Psi = M dx + N dy = 0 $$, y la solución se puede encontrar integrando esta función.