1. Planteamos el problema: Resolver la ecuación diferencial $y' + 3y = 6x$. 2. Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden de la forma $y' + p(x)y = q(x)$, donde $p(x) = 3$ y $q(x) = 6x$. 3. La fórmula para resolverla es usar el factor integrante $\mu(x) = e^{\int p(x) dx} = e^{3x}$. 4. Multiplicamos toda la ecuación por $\mu(x)$: $$e^{3x} y' + 3 e^{3x} y = 6x e^{3x}$$ 5. El lado izquierdo es la derivada del producto $\frac{d}{dx}(e^{3x} y)$, entonces: $$\frac{d}{dx}(e^{3x} y) = 6x e^{3x}$$ 6. Integramos ambos lados respecto a $x$: $$e^{3x} y = \int 6x e^{3x} dx + C$$ 7. Para integrar $\int 6x e^{3x} dx$, usamos integración por partes: Sea $u = x$, $dv = 6 e^{3x} dx$. Entonces $du = dx$, $v = 2 e^{3x}$ (porque $\int 6 e^{3x} dx = 2 e^{3x}$). 8. Aplicando integración por partes: $$\int 6x e^{3x} dx = u v - \int v du = 2x e^{3x} - \int 2 e^{3x} dx = 2x e^{3x} - \frac{2}{3} e^{3x} + C'$$ 9. Sustituimos en la ecuación: $$e^{3x} y = 2x e^{3x} - \frac{2}{3} e^{3x} + C$$ 10. Dividimos ambos lados por $e^{3x}$ para despejar $y$: $$y = 2x - \frac{2}{3} + C e^{-3x}$$ 11. Resultado final: $$\boxed{y = 2x - \frac{2}{3} + C e^{-3x}}$$ Este es el conjunto de soluciones generales para la ecuación dada.