Question: Contesta según sea lo correcto sobre Ecuaciones Diferenciales. Un modelo físico produce la ecuación: $x \frac{dy}{dx} = y^2 + 3x$. ¿Cuál característica puede identificarse inmediatamente, explica? i. Es lineal. ii. Es autónoma. Iii. Es una EDO. a. Es una EDP. b) ¿Cuál afirmación es verdadera respecto a una solución particular? i. Contiene una constante arbitraria. ii. Satisface únicamente la ecuación diferencial. iii. Satisface la ecuación y las condiciones iniciales. Iv. Siempre es única. c) Un estudiante desea resolver la ecuación: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$ y afirma que puede utilizar separación de variables porque aparecen únicamente las variables $x$ y $y$. ¿Cuál opción describe mejor su razonamiento? i. Es correcto; toda ecuación con únicamente $x$ y $y$ es separable. ii. Es incorrecto; primero debe verificarse si puede escribirse como $f(x)g(y)$. iii. Es incorrecto; la ecuación es homogénea y requiere un cambio de variable adecuado iv. Es correcto porque toda ecuación homogénea también es separable sin sustituciones. d) Un alumno transforma correctamente una ecuación de Bernoulli mediante: $u = y^{1-n}$ ¿Qué objetivo tiene esta sustitución? i. Obtener una ecuación homogénea. ii. Eliminar la variable independiente. iii. Convertir la ecuación en lineal. iv. Obtener una ecuación exacta.

1. **Planteamiento del problema:** Se nos da la ecuación diferencial $x \frac{dy}{dx} = y^2 + 3x$ y se nos pide identificar características, analizar afirmaciones sobre soluciones particulares, evaluar un razonamiento sobre separación de variables y entender la sustitución en una ecuación de Bernoulli. 2. **Parte a) Características de la ecuación:** - La ecuación es $x \frac{dy}{dx} = y^2 + 3x$. - Para que sea lineal, la ecuación debe tener la forma $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$, pero aquí aparece $y^2$, que es no lineal. - Es autónoma si no depende explícitamente de $x$, pero aquí sí depende de $x$. - Es una ecuación diferencial ordinaria (EDO) porque involucra derivadas respecto a una sola variable independiente $x$. - No es una ecuación en derivadas parciales (EDP) porque no involucra derivadas parciales. **Conclusión:** - i. No es lineal. - ii. No es autónoma. - iii. Sí es una EDO. - a. No es una EDP. 3. **Parte b) Sobre solución particular:** - Una solución particular no contiene constantes arbitrarias, esas están en la solución general. - Una solución particular satisface la ecuación diferencial y las condiciones iniciales. - La unicidad depende de condiciones y teoremas específicos, no siempre es garantizada. **Conclusión:** - i. Falso para solución particular (es para solución general). - ii. Falso, porque debe satisfacer más que solo la ecuación. - iii. Verdadero. - iv. No siempre verdadero. 4. **Parte c) Sobre separación de variables para $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$:** - Separar variables requiere que la ecuación pueda escribirse como $f(x)g(y)$. - La ecuación dada no es separable directamente. - Es homogénea porque la función es una razón de funciones homogéneas del mismo grado. - Requiere un cambio de variable para resolverla, no es separable directamente. **Conclusión:** - i. Incorrecto. - ii. Correcto, primero verificar si es separable. - iii. Correcto, es homogénea y requiere sustitución. - iv. Incorrecto. 5. **Parte d) Sobre sustitución en ecuación de Bernoulli $u = y^{1-n}$:** - La sustitución busca convertir la ecuación no lineal en una lineal. - No busca obtener ecuación homogénea, ni eliminar variable independiente, ni hacerla exacta. **Conclusión:** - i. Incorrecto. - ii. Incorrecto. - iii. Correcto. - iv. Incorrecto. **Respuesta final:** - a) iii es correcta. - b) iii es correcta. - c) ii y iii describen mejor el razonamiento, pero iii es más precisa. - d) iii es correcta.