1. Planteamos el problema: Resolver la ecuación diferencial $$\frac{dy}{dx} = y^2 - \frac{y}{x} + 1 - \frac{1}{4x^2}$$ y verificar que $$Y(x) = \frac{1}{2x} + \tan(x)$$ es una solución. 2. Para resolver, primero calculamos $$\frac{dy}{dx}$$ de la función propuesta $$Y(x)$$: $$Y(x) = \frac{1}{2x} + \tan(x)$$ Derivando término a término: $$\frac{dY}{dx} = -\frac{1}{2x^2} + \sec^2(x)$$ 3. Ahora evaluamos el lado derecho de la ecuación diferencial con $$y = Y(x)$$: $$y^2 - \frac{y}{x} + 1 - \frac{1}{4x^2} = \left(\frac{1}{2x} + \tan(x)\right)^2 - \frac{\frac{1}{2x} + \tan(x)}{x} + 1 - \frac{1}{4x^2}$$ 4. Expandimos y simplificamos: $$\left(\frac{1}{2x}\right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2x} \cdot \tan(x) + \tan^2(x) - \frac{1}{2x^2} - \frac{\tan(x)}{x} + 1 - \frac{1}{4x^2}$$ $$= \frac{1}{4x^2} + \frac{\tan(x)}{x} + \tan^2(x) - \frac{1}{2x^2} - \frac{\tan(x)}{x} + 1 - \frac{1}{4x^2}$$ 5. Cancelamos términos comunes: $$\frac{\tan(x)}{x} - \frac{\tan(x)}{x} = 0$$ $$\frac{1}{4x^2} - \frac{1}{2x^2} - \frac{1}{4x^2} = \cancel{\frac{1}{4x^2}} - \frac{1}{2x^2} - \cancel{\frac{1}{4x^2}} = -\frac{1}{2x^2}$$ 6. Queda: $$-\frac{1}{2x^2} + \tan^2(x) + 1$$ 7. Recordamos la identidad trigonométrica: $$1 + \tan^2(x) = \sec^2(x)$$ Por lo tanto: $$-\frac{1}{2x^2} + \sec^2(x)$$ 8. Esto coincide exactamente con $$\frac{dY}{dx}$$ calculado en el paso 2. 9. Concluimos que $$Y(x) = \frac{1}{2x} + \tan(x)$$ es solución de la ecuación diferencial dada.