Independencia Lineal 349Ea0

1. **Planteamiento del problema:** Queremos demostrar que las funciones $y_1 = e^{-2x}$ y $y_2 = e^{2x}$ son linealmente independientes. 2. **Método 1: Uso del Wronskiano** El Wronskiano de dos funciones $y_1$ y $y_2$ se define como: $$W(y_1,y_2) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = y_1 y_2' - y_2 y_1'$$ 3. Calculamos las derivadas: $$y_1' = \frac{d}{dx} e^{-2x} = -2 e^{-2x}$$ $$y_2' = \frac{d}{dx} e^{2x} = 2 e^{2x}$$ 4. Sustituimos en el Wronskiano: $$W = e^{-2x} \cdot 2 e^{2x} - e^{2x} \cdot (-2 e^{-2x}) = 2 e^{0} + 2 e^{0} = 2 + 2 = 4$$ 5. Como $W = 4 \neq 0$ para todo $x$, las funciones $y_1$ y $y_2$ son linealmente independientes. 6. **Método 2: Definición directa de independencia lineal** Dos funciones $y_1$ y $y_2$ son linealmente independientes si la única solución a: $$c_1 y_1 + c_2 y_2 = 0$$ para todo $x$ es $c_1 = c_2 = 0$. 7. Supongamos que existen constantes $c_1$ y $c_2$ tales que: $$c_1 e^{-2x} + c_2 e^{2x} = 0$$ para todo $x$. 8. Evaluamos en $x=0$: $$c_1 e^{0} + c_2 e^{0} = c_1 + c_2 = 0$$ 9. Evaluamos en $x=1$: $$c_1 e^{-2} + c_2 e^{2} = 0$$ 10. Tenemos el sistema: $$\begin{cases} c_1 + c_2 = 0 \\ c_1 e^{-2} + c_2 e^{2} = 0 \end{cases}$$ 11. De la primera ecuación, $c_2 = -c_1$. Sustituyendo en la segunda: $$c_1 e^{-2} - c_1 e^{2} = c_1 (e^{-2} - e^{2}) = 0$$ 12. Como $e^{-2} - e^{2} \neq 0$, entonces $c_1 = 0$ y por ende $c_2 = 0$. 13. Por lo tanto, las funciones $y_1$ y $y_2$ son linealmente independientes. **Respuesta final:** Las funciones $y_1 = e^{-2x}$ y $y_2 = e^{2x}$ son linealmente independientes según ambos métodos.