1. Planteamos el problema: Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales $x'(t)=2x(t)-3y(t)+e^{2t}$ y $y'(t)=x(t)-2y(t)-e^{-3t}$ con condiciones iniciales $x(0)=2$ y $y(0)=1$. 2. Escribimos el sistema en forma matricial: $\mathbf{X}'=A\mathbf{X}+\mathbf{f}(t)$, donde $\mathbf{X} = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$, $A=\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$, y $\mathbf{f}(t) = \begin{pmatrix} e^{2t} \\ -e^{-3t} \end{pmatrix}$. 3. Primero resolvemos el sistema homogéneo $\mathbf{X}'=A\mathbf{X}$. Calculamos los valores propios de $A$ resolviendo $\det(A-\lambda I)=0$: $$\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & -3 \\ 1 & -2-\lambda \end{pmatrix} = (2-\lambda)(-2-\lambda) - (-3)(1) = 0$$ 4. Expandimos: $$ (2-\lambda)(-2-\lambda) + 3 = -4 - 2\lambda + 2\lambda + \lambda^2 + 3 = \lambda^2 -1 = 0 $$ 5. Por lo tanto, $\lambda^2=1$ y los valores propios son $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-1$. 6. Para $\lambda_1=1$, resolvemos $(A - I)\mathbf{v}=0$: $$ \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ 7. De la primera fila: $v_1 - 3v_2 = 0 \Rightarrow v_1 = 3v_2$. Tomamos $v_2=1$, entonces $\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$. 8. Para $\lambda_2=-1$, resolvemos $(A + I)\mathbf{v}=0$: $$ \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ 9. De la segunda fila: $v_1 - v_2 = 0 \Rightarrow v_1 = v_2$. Tomamos $v_2=1$, entonces $\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. 10. La solución general homogénea es: $$ \mathbf{X}_h = c_1 e^{t} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 e^{-t} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$ 11. Buscamos una solución particular $\mathbf{X}_p$ para el sistema no homogéneo. Proponemos $\mathbf{X}_p = \mathbf{u}(t)$ y usamos el método de variación de parámetros. 12. La matriz fundamental es: $$ \Phi(t) = \begin{pmatrix} 3 e^{t} & e^{-t} \\ e^{t} & e^{-t} \end{pmatrix} $$ 13. Calculamos $\Phi^{-1}(t)$ para encontrar $\mathbf{u}'(t) = \Phi^{-1}(t) \mathbf{f}(t)$. 14. El determinante de $\Phi(t)$ es: $$ \det(\Phi) = 3 e^{t} \cdot e^{-t} - e^{-t} \cdot e^{t} = 3 - 1 = 2 $$ 15. Por lo tanto, $$ \Phi^{-1}(t) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} e^{-t} & -e^{-t} \\ -e^{t} & 3 e^{t} \end{pmatrix} $$ 16. Calculamos $\mathbf{u}'(t) = \Phi^{-1}(t) \mathbf{f}(t)$: $$ \mathbf{u}'(t) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} e^{-t} & -e^{-t} \\ -e^{t} & 3 e^{t} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{2t} \\ -e^{-3t} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} e^{-t} e^{2t} - (-e^{-t}) e^{-3t} \\ -e^{t} e^{2t} + 3 e^{t} (-e^{-3t}) \end{pmatrix} $$ 17. Simplificamos: $$ \mathbf{u}'(t) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} e^{t} + e^{-4t} \\ -e^{3t} - 3 e^{-2t} \end{pmatrix} $$ 18. Integramos cada componente: $$ u_1(t) = \frac{1}{2} \int (e^{t} + e^{-4t}) dt = \frac{1}{2} (e^{t} - \frac{1}{4} e^{-4t}) + C_1 = \frac{1}{2} e^{t} - \frac{1}{8} e^{-4t} + C_1 $$ $$ u_2(t) = \frac{1}{2} \int (-e^{3t} - 3 e^{-2t}) dt = \frac{1}{2} (-\frac{1}{3} e^{3t} + \frac{3}{2} e^{-2t}) + C_2 = -\frac{1}{6} e^{3t} + \frac{3}{4} e^{-2t} + C_2 $$ 19. La solución particular es: $$ \mathbf{X}_p = \Phi(t) \begin{pmatrix} u_1(t) \\ u_2(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 e^{t} & e^{-t} \\ e^{t} & e^{-t} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} e^{t} - \frac{1}{8} e^{-4t} \\ -\frac{1}{6} e^{3t} + \frac{3}{4} e^{-2t} \end{pmatrix} $$ 20. Multiplicamos para $x_p(t)$: $$ x_p(t) = 3 e^{t} \left( \frac{1}{2} e^{t} - \frac{1}{8} e^{-4t} \right) + e^{-t} \left( -\frac{1}{6} e^{3t} + \frac{3}{4} e^{-2t} \right) = \frac{3}{2} e^{2t} - \frac{3}{8} e^{-3t} - \frac{1}{6} e^{2t} + \frac{3}{4} e^{-3t} $$ 21. Simplificamos términos semejantes: $$ x_p(t) = \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{6} \right) e^{2t} + \left( -\frac{3}{8} + \frac{3}{4} \right) e^{-3t} = \frac{9}{6} e^{2t} + \frac{3}{8} e^{-3t} = \frac{3}{2} e^{2t} + \frac{3}{8} e^{-3t} $$ 22. Para $y_p(t)$: $$ y_p(t) = e^{t} \left( \frac{1}{2} e^{t} - \frac{1}{8} e^{-4t} \right) + e^{-t} \left( -\frac{1}{6} e^{3t} + \frac{3}{4} e^{-2t} \right) = \frac{1}{2} e^{2t} - \frac{1}{8} e^{-3t} - \frac{1}{6} e^{2t} + \frac{3}{4} e^{-3t} $$ 23. Simplificamos: $$ y_p(t) = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right) e^{2t} + \left( -\frac{1}{8} + \frac{3}{4} \right) e^{-3t} = \frac{1}{3} e^{2t} + \frac{5}{8} e^{-3t} $$ 24. La solución general es: $$ x(t) = c_1 3 e^{t} + c_2 e^{-t} + \frac{3}{2} e^{2t} + \frac{3}{8} e^{-3t} $$ $$ y(t) = c_1 e^{t} + c_2 e^{-t} + \frac{1}{3} e^{2t} + \frac{5}{8} e^{-3t} $$ 25. Aplicamos condiciones iniciales: Para $t=0$, $$ x(0) = 3 c_1 + c_2 + \frac{3}{2} + \frac{3}{8} = 2 $$ $$ y(0) = c_1 + c_2 + \frac{1}{3} + \frac{5}{8} = 1 $$ 26. Simplificamos constantes: $$ \frac{3}{2} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8} + \frac{3}{8} = \frac{15}{8} $$ $$ \frac{1}{3} + \frac{5}{8} = \frac{8}{24} + \frac{15}{24} = \frac{23}{24} $$ 27. Sistema para $c_1, c_2$: $$ 3 c_1 + c_2 = 2 - \frac{15}{8} = \frac{16}{8} - \frac{15}{8} = \frac{1}{8} $$ $$ c_1 + c_2 = 1 - \frac{23}{24} = \frac{24}{24} - \frac{23}{24} = \frac{1}{24} $$ 28. Restamos la segunda ecuación de la primera: $$ (3 c_1 + c_2) - (c_1 + c_2) = \frac{1}{8} - \frac{1}{24} \Rightarrow 2 c_1 = \frac{3}{24} - \frac{1}{24} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12} $$ 29. Por lo tanto, $$ c_1 = \frac{1}{24} $$ 30. Usamos $c_1 + c_2 = \frac{1}{24}$ para encontrar $c_2$: $$ c_2 = \frac{1}{24} - \frac{1}{24} = 0 $$ 31. Finalmente, la solución es: $$ x(t) = \frac{1}{24} 3 e^{t} + 0 + \frac{3}{2} e^{2t} + \frac{3}{8} e^{-3t} = \frac{1}{8} e^{t} + \frac{3}{2} e^{2t} + \frac{3}{8} e^{-3t} $$ $$ y(t) = \frac{1}{24} e^{t} + 0 + \frac{1}{3} e^{2t} + \frac{5}{8} e^{-3t} $$ Respuesta final: $$ x(t) = \frac{1}{8} e^{t} + \frac{3}{2} e^{2t} + \frac{3}{8} e^{-3t} $$ $$ y(t) = \frac{1}{24} e^{t} + \frac{1}{3} e^{2t} + \frac{5}{8} e^{-3t} $$